Formulario: geometria analitica. Cambiamento di riferimento. Traslazione, rotazione, rototraslazione e coordinate polari

Formule per la traslazione degli assi

Le coordinate del generico punto `P` sono:
`P(x;y)` nel sistema di assi cartesiani ortogonali `xOy`, e
`P(x';y')` nel sistema di assi paralleli e concordi `x'O'y'`.
Se l'origine del nuovo sistema `x'O'y'` ha, rispetto al primo, le coordinate `O'(a;b)`, valgono le relazioni:
`{(x' = x + a),(y' = y + b):}`.

Formule per la rotazione degli assi

Le coordinate del generico punto `P` sono:
`P(x;y)` nel sistema di assi cartesiani ortogonali `xOy`, e
`P(x';y')` riferite al sistema `x'O'y'` in cui gli assi sono ruotati di un angolo `alpha`, e le origini `O` e `O`' coincidono.

Le relazioni:
`{(x' = x cos alpha - y sen alpha),(y' = x sen alpha + y cos alpha):}`
consentono di passare da un sistema di riferimento `xOy` al sistema `x'O'y'` ruotato di un angolo `alpha` rispetto al precedente.

Disponendo per esempio dell'equazione cartesiana di una curva `y=f(x)` con queste formule si può trasformare l'equazione della curva nelle nuove variabili `x',y'`.
Un esempio tipico è quello di trasformare l'equazione di un iperbole equilatera nell'equazione della stessa iperbole riferita ai propri asintoti.

Formule per la rototraslazione degli assi

Questo movimento risulta composto dalla traslazione
`{(x' = x + a),(y' = y + b):}`,

e dalla rotazione di un angolo `alpha`
`{(x' = x cos alpha - y sen alpha),(y' = x sen alpha + y cos alpha):}`.

Si ottengono così le formule per la rototraslazione:
`{(x' = a + x cos alpha - y sen alpha),(y' = b + x sen alpha + y cos alpha):}`.

Formule di trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari e viceversa.

La posizione di un punto qualsiasi sul piano è univocamente determinata da:
- la sua distanza dal polo = raggio vettore indicato con `rho`;
- l'angolo `varphi` (anomalia o ascissa angolare) formato dall'asse polare e dal raggio vettore, assumendo l'asse polare come origine, e positivo il senso antiorario.

Per rappresentare tutti i punti del piano si conviene che:
`rho >= 0` , `0 <= varphi <= 2pi`.

Osservazioni:
- Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.
- L'equazione polare dell'asse è `varphi = 0` oppure `varphi = 2pi`
- Tutte le rette passanti per il polo hanno un'equazione del tipo: `varphi = text(costante)`
- Un cerchio con centro nel polo ha un'equazione del tipo: `rho = text(costante)`
- Il polo ha raggio vettore nullo e anomalia indeterminata.

Per passare dal sistema cartesiano `xOy` al sistema polare (applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli) si usano le seguenti relazioni:
`{(x = rho cos varphi),(y = rho sen varphi):}`.

Viceversa, per passare dal sistema polare al cartesiano:

`cos varphi = x/(sqrt(x^2+y^2))` ; `sen  varphi = y/(sqrt(x^2+y^2))` ; `tg  varphi = y/x`.