FORMULARIO: geometria analitica.
Cambiamento di riferimento. Traslazione, rotazione, rototraslazione e coordinate polari
Formule per la traslazione degli assi
Le coordinate del generico punto P sono: nel
sistema di assi cartesiani ortogonali ,
e nel
sistema di assi paralleli e concordi .
Se l'origine del nuovo sistema ha,
rispetto al primo, le coordinate ,
valgono le relazioni: .
Muovi il punto P in una posizone a tuo piacere, oppure il
punto O' per effettuare una traslazione del sistema di riferimento
XO'Y.
Formule per la rotazione degli assi
Le coordinate del generico punto P sono: nel
sistema di assi cartesiani ortogonali ,
e riferite
al sistema in
cui gli assi sono ruotati di un angolo α, e le origini O e O' coincidono.
Le relazioni: ,
consentono di passare da un sistema di riferimento al
sistema ruotato
di un angolo α rispetto al precedente.
Disponendo per esempio dell'equazione cartesiana di una curva
y=f(x) con queste formule si può trasformare l'equazione
della curva nelle nuove variabili X,Y. Un esempio tipico è quello
di trasformare l'equazione di un iperbole equilatera nell'equazione
della stessa iperbole riferita ai propri asintoti.
I due riferimenti xOy e XO'Y hanno la stessa origine O=O'.
Puoi muovere dove vuoi il punto P. Per effettuare una rotazione del sistema di
riferimento XO'Y prova a ruotare l'asse X in senso antiorario.
Formule per la rototraslazione degli assi
Questo movimento risulta composto dalla traslazione che porta
dal sistema al
sistema ,
e dalla rotazione di un angolo α che porta dal sistema al
sistema .
Si ottengono così le formule per la rototraslazione:
I due riferimenti XO'Y e X'O'Y' hanno la stessa
origine O'.
Muovi il punto P a tuo piacere. Per effettuare la traslazione del riferimento
X'O'Y' trascina il punto O'. Per effettuare una traslazione del riferimento
XO'Y ruota l'asse X in senso antiorario.
Formule di trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate
polari e viceversa.
La posizione di un punto qualsiasi sul piano è univocamente
determinata da:
- la sua distanza dal polo = RAGGIO VETTORE
- l'angolo (ANOMALIA o ASCISSA ANGOLARE) formato dall'asse polare e dal raggio
vettore, assumendo l'asse polare come origine, e positivo il senso
antiorario.
Per rappresentare tutti i punti del piano si conviene che: , .
Osservazioni:
- Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.
- L'equazione polare dell'asse é oppure
- Tutte le rette passanti per il polo hanno un'equazione del tipo:
- Un cerchio con centro nel polo ha un'equazione del tipo:
- Il polo ha raggio vettore nullo e anomalia indeterminata.
nel
sistema di assi cartesiani ortogonali 
,
e 
nel
sistema di assi paralleli e concordi 
.
,
valgono le relazioni:
.
,
,
.
, 
.
oppure 
,
,
, 
.