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FORMULARIO: trigonometria. Risoluzione dei triangoli
 
» Risoluzione dei triangoli rettangoli.

triangolo rettangolo

1° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente.

`b = a sen beta` , `c = a sen gamma`
`b = a cos gamma` , `c = a cos beta`

2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente.

`c = b tg gamma` , `b = c tg beta`
`c = b ctg beta` , `b = c ctg gamma`

» Area di un triangolo qualsiasi.

L’area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

`text(Area) = (a b sen gamma)/2 = (b c sen alpha)/2 = (a c sen beta)/2`

» Risoluzione dei triangoli qualsiasi.

Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto:

`a/(sen alpha) = b/(sen beta) = c/(sen gamma)`

Nota. Questi rapporti sono dunque costanti e la costante è la misura del diametro della circonferenza circoscritta, per cui è possibile enunciare il seguente:

Teorema della corda
In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
`a/(sen alpha) = b/(sen beta) = c/(sen gamma) = 2r`

Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso:

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos alpha`
`b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos beta`
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos gamma`

Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo.

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:

`a = b cos gamma + c cos beta`
`b = a cos gamma + c cos alpha`
`c = a cos beta + b cos alpha`

IN PRATICA

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Dunque si possono presentare quattro casi:

1) due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione)
2) tre lati (il problema presenta una sola soluzione)
3) due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione)
4) due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni).


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