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FORMULARIO: trigonometria. Risoluzione dei triangoli
 
» Risoluzione dei triangoli rettangoli.

triangolo rettangolo

1° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente.

formula , formula
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2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente.

formula , formula
formula , formula

» Area di un triangolo qualsiasi.

L’area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

formula

» Risoluzione dei triangoli qualsiasi.

Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto:

formula

Nota. La costante è la misura del diametro della circonferenza circoscritta, per cui è possibile enunciare il seguente:

Teorema della corda
In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
formula = 2r

Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso:

formula
formula
formula

Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo.

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:

formula
formula
formula

IN PRATICA

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Dunque si possono presentare quattro casi:

1) due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione)
2) tre lati (il problema presenta una sola soluzione)
3) due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione)
4) due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni).


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