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FORMULARIO: iperbole
 

» Definizione: l'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L'iprbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti.

Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, l'iperbole è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo all'asse del cono.

Iperbole con i Fuochi appartenenti all'asse `x`

» equazione cartesiana: `x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1`

» fuochi: `F_1 (-c;0)` , `F_2 (c;0)`  con   `a < c`  e   `c= sqrt(a^2+b^2)`

» vertici reali: `A_1(-a;0)`, `A_2(a;0)` intersezioni dell'iperbole con l'asse `x`,
» vertici non reali: `B_1(0;-b)`, `B_2(0;b)` non sono intersezioni con l'asse `y`

» asse trasverso `A_1A_2` (asse passante per i vertici reali)
» asse non trasverso `B_1B_2`

» asintoti: `y = - b/a x`  ,  `y= b/a x`

» eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): `e = c/a = sqrt(a^2+b^2)/a` ,  `e >1`

»  Formula dello sdoppiamento: equazione della retta tangente all’iperbole nel suo punto `P_0 (x_0;y_0)` : `(x x_0)/a^2 - (y y_0)/b^2 = 1`

Iperbole con i Fuochi appartenenti all'asse `y`

» equazione cartesiana: `x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1`

» fuochi: `F_1 (0;-c)` , `F_2 (0;c)`  con   `c= sqrt(a^2+b^2)`

» vertici reali: `B_1(0;-b)`, `B_2(0;b)` non sono intersezioni con l'asse `y`
» vertici non reali: `A_1(-a;0)`, `A_2(a;0)` intersezioni dell'iperbole con l'asse `x`,

» asse trasverso `B_1B_2`(asse `y`)
» asse non trasverso `A_1A_2` (asse passante per i vertici reali, asse `x`)

» eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): `e = c/b = sqrt(a^2+b^2)/b`.

» asintoti: `y = - b/a x`  ,  `y= b/a x`

»  Formula dello sdoppiamento: equazione della retta tangente all’iperbole nel suo punto `P_0 (x_0;y_0)` : `(x x_0)/a^2 - (y y_0)/b^2 = -1`.

Iperbole equilatera

Se nell'equazione cononica `a = b` l'iperbole si dice equilatera e la sua equazione può essere scritta nella forma:
`x^2 - y^2 = a^2` se i fuochi sono sull'asse `x`;
`x^2 - y^2 = -a^2` se invece i fuochi appartengono all'asse `y`.

» asintoti: `y = - x`  ,  `y= x` (coincidono con le bisettrici dei quadranti)

» semidistanza focale: `c = a sqrt2`

» eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): `e = sqrt2`.

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

» equazione cartesiana: `y = k/x` o anche nella forma `xy=k` , `k > 0` o `k < 0`

» lunghezza del semiasse trasverso: `a = sqrt(2 abs(k))`

» coordinate dei vertici sul semiasse trasverso:
per `k > 0`: `A_1( -sqrt (k) ; -sqrt (k) )` , `A_2( sqrt (k) ; sqrt (k) )`
per `k < 0`: `A_1( -sqrt (-k) ; sqrt (-k))` , `A_2( sqrt (-k) ; -sqrt (-k) )`

» semidistanza focale: `c = a sqrt2 = 2 sqrt(abs(k))`

» coordinate dei fuochi:
per `k > 0`: `F_1( -sqrt (2k) ; -sqrt (2k) )` , `F_2( sqrt (2k) ; sqrt (2k) )`
per `k < 0`: `F_1( -sqrt (-2k) ; sqrt (-2k))` , `F_2( sqrt (-2k) ; -sqrt (-2k) )`

 

Vedi anche
La costruzione geometrica della iperbole

 

 

 


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