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Problema

Dividere un angolo dato in due parti uguali.

Definizione

La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell'angolo. La bisettrice è dunque quella semiretta, con origine nel vertice dell'angolo, che lo divide in due parti uguali.

Costruzione geometrica

Per costruire la bisettrice di un angolo utilizziamo la proprietà di cui godono tutti e solo i suoi punti, cioè di essere equidistanti dai lati dell'angolo.

Per effettuare la costruzione si inizia col tracciare due semirette aventi la stessa origine ${\displaystyle V}$. Su una di queste si sceglie un punto qualsiasi ${\displaystyle A}$.
Si riporta con il compasso, puntato in ${\displaystyle V}$, la misura del segmento ${\displaystyle AV}$ sull'altro lato dell'angolo in modo tale che ${\displaystyle VA=VB}$. Dal punto ${\displaystyle B}$ si tracciano la retta perpendicolare al lato ${\displaystyle VB}$ dell'angolo, e la perpendicolare per ${\displaystyle A}$ alla semiretta ${\displaystyle VA}$. L'incontro di tali perpendicolari individua il punto ${\displaystyle O}$. Poiché due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente uguali l'ipotenusa ed un cateto, ne segue che ${\displaystyle OA=OB}$. Allora ${\displaystyle O}$ è equidistante dai due lati dell'angolo. Si traccia infine la semiretta che unisce i punti ${\displaystyle O}$ e ${\displaystyle V}$ : tale semiretta è la bisettrice. Questa contiene tutti e soli i punti equidistanti dai lati dell'angolo.

Le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto chiamato incentro.

 

Puoi variare l'ampiezza dell'angolo in ${\displaystyle V}$ muovendo il punto ${\displaystyle C}$. Se provi a muovere il punto ${\displaystyle A}$, puoi sperimentare che la bisettrice divide in due parti uguali l'angolo.
Prova a dimostrarlo ricorrendo ai criteri di uguaglianza dei triangoli.