Sequenza dei passi minimi utili allo studio di una funzione `y = f(x)`

In pratica

Determinare il Dominio, o Campo di Esistenza, della funzione.

Bisogna individuare gli intervalli in cui la funzione assume valori Reali; ovvero determinare l'insieme dei punti `x_i` in cui la funzione non è definita ed escluderli.

Classifica il tipo di funzione. (vedi tutorial classificazione)

Dopo aver classificato il tipo di funzione:

• se è una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto l'asse Reale
• se la funzione è una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero.
  I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo dominio, per tali punti `x_i` la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva;
• se la funzione è irrazionale, guarda l'indice del radicale:
  • se `f(x)` è pari dovrai imporre che il radicando non sia negativo poiché la funzione è a valori Reali,
  • se `f(x)` è dispari, non ci sono imposizioni.
• Se la funzione è logaritmica ricordati di imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo.
• Se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni.
• Se la funzione è trigonometrica bisognerà imporre che gli argomenti della funzione tangente siano diversi da multipli dispari di angoli retti `!= (2k+1)pi/2 , k in ZZ`.
• Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni dovranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni.

Scrivi il dominio come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori Reali.

Segna graficamente gli intervalli o i punti in cui la funzione non esiste.

Stabilire se la funzione presenta delle simmetrie e/o è periodica

• Se `y = f(x)` è simmetrica rispetto all'asse `y`, deve verificarsi:
  `f(-x) = f(x)`, (funzione pari).

• Se `y = f(x)` è simmetrica rispetto all'origine degli assi, deve verificarsi:
  `f(-x) = -f(x)`, (funzione dispari).
  Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano `x>=0`; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta rispetto all'asse `y` o all'Origine.

• Se `y = f(x)` è periodica, si può limitare lo studio all'ampiezza del periodo.

Ricercare l'eventuale intersezione della funzione con l'asse `x`

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse:

`{(y = f(x)),(y=0):}`
ovvero risolvi l'equazione `f(x) = 0`.

Ricercare l'eventuale intersezione della funzione con l'asse `y`

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate:

`{(y = f(x)),(x=0):}`
ovvero calcola `y = f(0)`.

Studiare il segno della funzione

Studia la disequazione `f(x) > 0`.
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del Dominio.

Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti `x_i`:

`lim_(x->x_i^-) f(x) = ....` e `lim_(x->x_i^+) f(x) = ....`

Calcola i limiti a `+` e a `-` infinito:

`lim_(x->-oo) f(x) = ....` e `lim_(x->+oo) f(x) = ....`.

Riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.

Ricerca degli eventuali asintoti verticali e orizzontali

• Se `lim_(x->c) f(x) = +-oo`,
  allora `x = c` è un asintoto verticale.

• Se `lim_(x->+-oo) f(x) = l text (finito)`,
  allora `y = l` è un asintoto orizzontale.

Calcolo delle derivate prima e seconda.

Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i punti stazionari.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso.

`y^' = f^'(x) = ...`

`y^('') = f^('')(x) = ...` .

Ricerca degli eventuali punti stazionari (di massimo e di minimo relativo, o di flesso).

I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici.

C.N. affinché un punto sia stazionario (massimo, minimo relativo o flesso) è che `y^' = f^'(x) = 0`. Infatti in un punto stazionario la tangente alla curva si dispone orizzontale.
Dunque si tratta di risolvere tale equazione. I valori `x_i` che la soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso.

Studio della monotonia della funzione

Per sapere se questi sono punti di massimo o di minimo per la curva si può procedere in due modi.

1° metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si impone che `f^'(x) > 0`.
Lo studio degli intervalli di monotonia, cioè dove la curva è crescente o decrescente, ci fa comprendere se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
Se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono né di massimo né di minimo, ma punti di flesso a tangente orizzontale.

2° metodo: si sostituiscono le ascisse dei punti `x_i` nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume.

• `f^('')(x_i) > 0`: se è positiva la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il è un punto di minimo;

• `f^('')(x_i) < 0`: se è negativa la concavità sarà rivolta verso il basso per cui il è un punto massimo;

• `f^('')(x_i) = 0`: se è nulla il punto è molto probabilmente di flesso.

Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nell'equazione della curva e ricava l'ordinata.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Studio dei punti di non derivabiltà

Determina il Campo di Esistenza della derivata prima `y^' = f^'(x)`.
Se `x_0` è un punto appartenente al CDE della funzione, ma è un punto che non appartiene al dominio della derivata prima della funzione si dice che è un punto di non derivabilità. Sono punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. In tali punti il limite destro e sinistro del rapporto incrementale o non è finito o porta a valori finiti ma diversi tra loro.

Si presentano dunque 3 differenti casi per 3 differenti tipi di punti di non derivabilità:

1. Flessi a tangente verticale
   se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = ` `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) =+oo`
   allora `x_0` è un flesso a tangente verticale ascendente;
   se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = ` `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) =-oo`
   allora `x_0` è un flesso a tangente verticale discendente.

2. Cuspidi
   se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = +oo` e `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = -oo`
   allora `x_0` è una cuspide rivolta verso il basso;
   se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = -oo` e `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = +oo`
   allora `x_0` è una cuspide rivolta verso l'alto.

3. Punti angolosi
   se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = m` e `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = l` con `l != m`
   oppure se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = m` e `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = +oo`
   oppure se `lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = -oo` e `lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = l`
   allora `x_0` è un punto angoloso.

Ricerca degli eventuali punti di flesso a tangente orizzontale

Imponi `f^('')(x) = 0` e risolvi.

I valori che soddisfano l'equazione sono molto probabilmente le ascisse di punti di flesso a tangente orizzontale.

Studio della concavità e della convessità della funzione:

convessa (concavità verso l'alto)

concava (concavità verso il basso)

Studia il segno della derivata seconda: `f^('')(x) > 0`.

Negli intervalli in cui risulta positiva (`f^('')(x) > 0`), la curva rivolge la concavità verso l'alto (convessa), in caso contrario (`f^('')(x) < 0`) volge la concavità verso il basso (concava).
Le soluzioni di `f^('')(x) = 0` sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso, dove la tangente si dispone orizzontalmente.

Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di flesso

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell'equazione della curva e ricava l'ordinata corrispondente.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Ricerca degli eventuali asintoti obliqui

Se `lim_(x->oo) f(x) = oo` la funzione può avere un asintoto obliquo, allora si calcolano i due limiti :
`m = lim_(x->oo) (f(x))/(x)` che fornisce il coefficiente angolare `m` della retta (asintoto), e
`q = lim_(x->oo) [f(x) - mx]` che fornisce il valore del termine noto `q` della retta (asintoto).

Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta `y = mx + q` è un asintoto obliquo della curva.