Funzioni reali

• Una funzione `f` tra due insiemi non vuoti `A` e `B` è una regola che associa ad ogni elemento di `A` un unico elemento di `B`.
  Indichiamo questa corrispondenza tra insiemi: `f : A -> B`.

• Una funzione `f` si dice numerica o aritmetica se il suo dominio è in `NN` ed è a valori in `NN`, `f : NN -> NN`.

• Una funzione `f` si dice reale a variabile reale se il suo dominio è in `RR` ed è a valori in `RR`, `f : RR -> RR`.

• Una funzione `f : A -> B`, `A` e `B` sottoinsiemi di `RR`, si dice matematica o analitica se esiste una relazione `y = f(x)` che permette di calcolare univocamente il corrispondente valore `y` appartenente a `B`.

• Questa corrispondenza tra elementi si indica con: `y = f(x)` (si legge effe di `x`).
  L'equazione `y = f(x)` è l'espressione analitica della funzione matematica, con `x` e `y` rispettivamente variabile indipendente e variabile dipendente.

• Se `x` è un qualsiasi elemento dell'insieme `A` `(AAx in A)` con `f(x)` indichiamo l'elemento `y in B` che corrisponde ad `x` mediante la funzione `f`. L'elemento `y` di `B` si dice immagine di `x` mediante `f`.

• Il dominio `ccD` (o Campo di Esistenza CdE, o anche insieme di definizione) di una funzione è il più ampio sottoinsieme di `RR` costituito da tutti e soli i valori della `x` per cui esistano finiti i corrispondenti valori di `y = f(x)`.
  `ccD = {AAx in RR | EE y=f(x) in RR}`

• Il codominio `ccC` di una funzione è il sottoinsieme di `RR` costituito da tutti gli elementi `y` corrispondenti dei punti `x` appartenenti al dominio della funzione.
  `ccC = {AAy in RR | EE x in ccD text( la cui immagine ) f(x) = y}`

C L A S S I F I C A R E

E' possibile classificare le funzioni considerando il tipo di operazioni matematiche che compaiono nella sua espressione analitica. Si distinguono:

• le funzioni algebriche (in cui compaiono solo operazioni di tipo algebrico: addizione sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza, radice);

• le funzioni trascendenti (contenenti operazioni trascendenti: logaritmo, esponenziale o le funzioni goniometriche).

• Le funzioni algebriche possono essere:

  • razionali intere
    in generale sono polinomi del tipo:`y = a_0x^n + a_1x^(n-1) + a_2x^(n-2) + ... + a_(n-1)x + a_n`; es: `y = 3x^2-2x+7`

  • razionali fratte
    sono del tipo `y = (A(x))/(B(x))` con `A(x)` e `B(x)` polinomi nella variabile `x`; es. `y = (2x^3-3x+1)/(x-2)`

  • irrazionali
    contenenti radicali; es: `y = 5x - sqrt(3x^2 -1)`

• Le funzioni trascendenti possono essere:

  • logaritmiche [ es: `y = log(x+1)` ]

  • esponenziali [ es: `y = 3x -1 +4e^(x-1)` ]

  • goniometriche [ es: `y = cos x - 3 sin x` ]

Schematizzando