Geometria dinamica. Sezione aurea

 

`AC` è la sezione aurea del segmento `AB`.
Muovi i punti `A` o `B` per provare come varia la misura della sezione aurea.

Definizione

Si dice sezione aurea del segmento `AB`, il segmento `AC`, con `C` compreso tra `A` e `B`, medio proporzionale tra l'intero segmento `AB` e la parte rimanente `CB`.

Trovare la sezione aurea di un segmento dato รจ equivalente al seguente problema:

Problema

Dividere un segmento in due parti tali che una parte sia media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.

Costruzione

Per costruire la sezione aurea di un segmento `AB` assegnato si procede nel modo seguente:

- si costruisce la circonferenza di centro `B` e raggio `BM` ossia uguale alla metà del segmento `AB`,
- si traccia la perpendicolare al segmento a `AB` passante per `B`,
- segnato il punto `D` intersezione di tale retta con la circonferenza, si traccia la circonferenza di centro `D` e passante per `B`,
- si disegna quindi la retta passante per `A` e per `D`,
- segnato il punto `E` intersezione di tale retta con la circonferenza,
- si costruisce la circonferenza di centro `A` e passante per `E`,
- si segna il punto `C` intersezione di quest'ultima circonferenza con il segmento `AB`.


Vedi anche:


Il numero ottenuto dal rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea è stato chiamato sin dall'antichità numero aureo ,rapporto aureo, proporzione aurea e anche divina proporzione. Il numero aureo è circa `1,618`. E' un numero irrazionale! (cioè possiede infinite cifre dopo la virgola)

Vediamo come si ottiene questo valore.

Dalla definizione scriviamo la proporzione `AB : AC = AC : BC `
Indicando con `l` la lunghezza del segmento `AB` e `x` la parte `AC`,
il segmento è uguale a `BC = AB - AC = l - x` ,
e il problema si può tradurre nella proporzione `l : x = x : (l - x)`;
ora poiché nelle proporzioni il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi si ottiene: `x^2 = l (l - x)`.
Ponendo `l = 1` , si ottiene l'equazione di 2° grado `x^2 + x - 1 = 0`. Il numero aureo è la soluzione positiva di questa equazione: `x = 0.618`.

In conclusione posto `AB = l`, la sezione aurea di `AB` ha come misura la soluzione positiva dell'equazione:
`x^2 = l (l-x)` cioè il numero `l (sqrt5 - 1) /2= 0,618` (cioè circa il 61.8% di `l` ).
Per cui il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea, `1/(0,618)`, è il numero aureo `1,618`, spesso indicato con la lettera greca `varphi`.

Problema

Costruire il rettangolo che ha per lati un segmento assegnato e la sua sezione aurea.

Questo problema è equivalente al seguente problema: Determinare il segmento di cui un segmento assegnato è la sezione aurea.

Costruzione

Ecco come procedere.
Sia `AB` il segmento dato.
Si tracciano le due perpendicolari al segmento `AB` passanti per i suoi estremi.
Quindi si disegnano le due circonferenze di centro `A` raggio `AB`, e di centro `B` raggio `BA`.
I punti di intersezione `D` e `C` con tali rette, insieme ad `A` e `B` costituiscono i vertici di un quadrato.
Individuiamo il punto medio `M` del segmento `AB`, e tracciamo la circonferenza con centro in `M` e raggio `MC`.
Viene così individuato il punto `E` intersezione della circonferenza con la retta passante per `A` e `B`.
Tracciamo infine la retta perpendicolare passante per `E` che interseca la retta per `D` e `C` nel punto `F`.
Il rettangolo `AEFD` è il rettangolo aureo: i suoi lati, `AB = AD` e `AE`, stanno in proporzione aurea.