La spirale Logaritmica

 

La spirale logaritmica, o equiangolare, fu scoperta da Renato Cartesio nel 1638. Cinquanta anni dopo un altro matematico, Jackob Bernoulli scopr√≠ molte altre sue proprietà, e ne rimase talmente affascinato che richiese di averne una scolpita sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo" (Sebbene cambiata, rinasco identica). Purtroppo la spirale che ancora oggi è visibile sulla lapide del matematico a Basilea è una spirale di Archimede, forse l'unica che lo scalpellino riusci a riprodurre; la scritta invece non compare.

Diversamente dalla spirale di Archimede, che ha un punto di inizio, la spirale logaritmica prosegue indefinitamente sia verso l'interno che verso l'esterno, mantenedo la sua forma al variare della scala di osservazione.
Mano a mano che si avvicina al polo, la curva ci si avvolge intorno senza mai raggiungerlo. Se volessimo osservare il centro della spirale logaritmica con un microscopio o con una lente di ingrandimento questo ci apparirebbe esattamente come la spirale che si vedrebbe continuando la curva nel verso opposto, cioè crescere fino a diventare delle dimensioni di una galassia.


La spirale logaritmica è legata ai numeri di Fibonacci. Dai una occhiata anche alla spirale di Archimede e alla spirale quadratica.


Un punto `A` percorre con moto uniformemente accelerato una retta mentre questa ruota con velocità angolare costante. `A` descrive una spirale logaritmica.
Per effettuare la costruzione geometrica in Geogebra si devono definire 3 variabili: `t` = tempo ; `a` = accelerazione e `ω` = velocità angolare.
Inoltre si definiscono: `r = (a * t^2)/2` la distanza percorsa da A sulla retta e `theta = ω * t` = l'angolo descritto dalla retta durante la rotazione.
Il punto `A(x;y)` ha coordinate `x = r * cos(ω * t)` ed `y = r * sin (ω * t)` .