math.it
FORMULARIO: GEOMETRIA PIANA. Triangoli qualsiasi
 

Prova a muovere i vertici del triangolo `A\stackrel\Delta(B)C` per vedere come variano i suoi elementi.

LEGENDA

`bar(AB) = c`, `bar(AC) = b`, `bar(BC) = a` , lati del triangolo
`B hatA C = alpha`, `A hatB C = beta`, `A hat(C) B = gamma`, angoli interni
`bar(AH) = h`, altezza
`bar(AM) = m`, mediana
`bar(AI) = i`, bisettrice
`bar(AD)` , bisettrice angolo esterno
`p = 1/2 (a + b + c)`, semiperimetro
`cc A` , area

 

Vedi anche:

triangoli rettangoli

» Proprietà:

`|b-c|<a<b+c`, `|a-c|<b<a+c`, `|a-b|<c<a+b`;

`a>b  <=>  alpha > beta`;

`alpha + beta + gamma = pi`.

» Calcolo dell'area:

`ccA = (b*h)/2`,
`ccA = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))`    formula di Erone,
`ccA = (a*b*sen gamma)/2 = (b*c*sen alpha)/2 = (a*c*sen beta)/2`,
`ccA = 1/2*a^2*(sen beta * sen gamma)/(sen alpha)`,
`ccA = p^2*tg alpha/2 * tg beta/2 * tg gamma/2`.

Note le coordinate dei tre vertici `A(x_1;y_1)`, `B(x_2;y_2)`, `C(x_3;y_3)`, l’Area si calcola con il determinante: `ccA = 1/2 det ([x_1,y_1,1],[x_2,y_2,1],[x_3,y_3,1])`.

» Lunghezza delle mediane:

`m_a = 1/2 * sqrt(2b^2+2c^2-a^2)`,  `m_b = 1/2 * sqrt(2a^2+2c^2-b^2)`,  `m_c = 1/2 * sqrt(2a^2+2b^2-c^2)`.

» Teorema della mediana:

`bar(AB)^2 + bar(AC)^2 = 2 (bar(BM)^2 + bar(AM)^2)`.

» Bisettrici:

`i_a = 2/(b+c) * sqrt(b*c*p*(p-a)`,  `i_b = 2/(a+c) * sqrt(a*c*p*(p-b)`,  `i_c = 2/(a+b) * sqrt(a*b*p*(p-c)`;

`l_a = (2bc) / (b+c) * cos  alpha/2`,  `l_b = (2ac) / (a+c) * cos  beta/2`,  `l_c = (2ab) / (a+b) * cos  gamma/2`.

» Teorema della bisettrice dell'angolo interno:

`bar(BI) : bar(IC) = bar(AB) : bar (AC)`.

» Teorema della bisettrice dell'angolo esterno:

`bar(CD) : bar(BD) = bar(AC) : bar (AB)`  (se i segmenti esistono).

» Raggio della circonferenza circoscritta:

`R = (abc) / (4ccA)`;

`R = a/(2 sen alpha)`,  `R = b/(2 sen beta)`,  `R = c/(2 sen gamma)`.

» Raggio della circonferenza inscritta:

`r = ccA / p`,  `r= sqrt(((p-a)*(p-b)*(p-c))/p)`;

`r = (p-a) * tg alpha/2`,  `r = (p-b) * tg beta/2`,  `r = (p-c) * tg gamma/2`.

» Raggio delle circonferenze exinscritte:

`r_a = sqrt((p*(p-b)*(p-c))/(p-a))`,  `r_b = sqrt((p*(p-a)*(p-c))/(p-b))`,  `r_c = sqrt((p*(p-a)*(p-b))/(p-c))`;

`r_a = p * tg alpha/2`,  `r_b = p * tg beta/2`,  `r_c = p * tg gamma/2`.

» Altezze:

`h_a = 2/a * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = (2ccA)/a`,
`h_b = 2/b * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = (2ccA)/b`,
`h_c = 2/c * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = (2ccA)/c`.

» Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto:
`a/(sen alpha) = b/(sen beta) = c/(sen gamma)`.

» Teorema della corda

In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
`a/(sen alpha) = b/(sen beta) = c/(sen gamma) = 2r`.

» Teorema delle proiezioni:

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo.

`a = b * cos gamma + c * cos beta`,  `b = a * cos gamma + c * cos alpha`,  `c = a * cos beta + b * cos gamma`.

» Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos alpha`,  `b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos beta`,  `c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos gamma`.

» Formule di Briggs:

`sen alpha/2 = sqrt(((p-b)*(p-c))/(bc))`,  `sen beta/2 = sqrt(((p-a)*(p-c))/(ac))`,  `sen gamma/2 = sqrt(((p-a)*(p-b))/(ab))`;

`cos  alpha/2 = sqrt((p*(p-a))/(bc))`,  `cos  beta/2 = sqrt((p*(p-b))/(ac))`,  `cos gamma/2 = sqrt((p*(p-c))/(ab))`;

`tg alpha/2 = sqrt(((p-b)*(p-c))/(p*(p-a)))`,  `tg beta/2 = sqrt(((p-a)*(p-c))/(p*(p-b)))`,  `tg gamma/2 = sqrt(((p-a)*(p-b))/(p*(p-c)))`;

`ctg alpha/2 = sqrt((p*(p-a))/((p-b)*(p-c)))`,  `ctg beta/2 = sqrt((p*(p-b))/((p-a)*(p-c)))`,  `ctg gamma/2 = sqrt((p*(p-c))/((p-a)*(p-b)))`.

» Teorema delle tangenti (o di Nepero)

In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza:

`(a+b)/(a-b) = (tg (alpha + beta) / 2) / (tg (alpha - beta) / 2)`,

che si può anche scrivere: `(a+b)/(a-b) = (ctg gamma / 2) / (tg (alpha - beta) / 2)`.

 


Valid XHTML 1.0 Transitional