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FORMULARIO: sviluppi in serie di Mc Laurin
 
Definizioni  

Sviluppo in serie di una funzione

Lo scopo degli sviluppi in serie è di approssimare una funzione continua e derivabile in un punto `x_0` del dominio della funzione con un polinomio di grado `n` arbitrario nella indeterminata `(x-x_0)`.

Gli sviluppi in serie possono tornare utili nel calcolo di forme di indecisione del tipo `0/0`, mentre non è possibile utilizzarli per forme di indecisione `oo/oo` , dal momento che non siamo in grado di sviluppare in serie una funzione nell’intorno dell’`oo`.

Sviluppo in serie di McLaurin

Lo sviluppo di McLaurin di ordine `n` di una funzione `f(x)` è dato da:

`f(x) = f(0) + f'(0)x + 1/(2!) f''(0)x^2 + 1/(3!) f'''(0)x^3 + ... + 1/(n!) f^((n))(0)x^n + o(x^n)`

Per calcolare lo sviluppo di McLaurin di una funzione assegnata si procede calcolando le derivate successive di `f(x)` e calcolandone i valori in corrispondenza di `x = x_0`.

:: vedi anche Formule di Taylor e di McLaurin


Notazione `o` (o piccolo)

Definizione: Siano `f` e `g` due funzioni reali di variabile reale definite in un intorno di un punto `x_0 in RR`, eccettuato al più il punto `x_0`.
Si dice che `f` è un `o` piccolo di `g` per `x` che tende a `x_0`, in simboli:

`f = o (g)` per `x->x_0,` se `lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = 0`

Si noti che non è necessario richiedere che `f` e `g` siano definite nel punto `x_0` in quanto la definizione coinvolge esclusivamente il limite del rapporto delle due funzioni per`x` che tende a `x_0`.

La notazione `f = o (g)`: la lettera “`o`” sta per “zero” (non viene usato perché darebbe luogo ad ambiguità di notazione) indica che la funzione `f` è uno zero (un infinitesimo di ordine superiore) della funzione `g`.

`k` fattoriale si indica `k!`, con `k in NN`, ed è così definito: `k! = 1·2·3·...·k`. Per convenzione si pone `0! = 1`.

Sviluppi in serie

formula, ricordiamo che il coefficiente binomiale è così definito: formula

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