Formule di Taylor e di McLaurin

Lo scopo delle formule di Taylor e di McLaurin è di approssimare una funzione con un polinomio di grado `k` arbitrario centrato in `x_0`, nel caso della formula di Taylor, e in `0` nel caso di quella di McLaurin.

Formula di Taylor

Una funzione `f(x)`, che passi per un punto `x_0` e che abbia in quel punto tutte le derivate necessarie, si può approssimare nel punto `x_0` mediante un polinomio (di Taylor) così definito:

`P_k(x) = f(x_0) + 1/(1!) f^'(x_0)(x-x_0) + 1/(2!) f^('')(x_0)(x-x_0)^2 + 1/(3!) f^(''')(x_0)(x-x_0)^3 + ... `
`...+ 1/(k!) f^((k))(x_0)(x-x_0)^k`.

L'errore che si commette in questa approssimazione non è maggiore della prima derivata che si trascura.

Formula di McLaurin

Nel caso in cui il punto `x_0` sia l’origine (`x_0 = 0`) si ottiene la formula di McLaurin:

`f(x) ~~ f(0) + f^'(0)x + 1/(2!) f^('')(0)x^2 + 1/(3!) f^(''')(0)x^3 + ... + 1/(k!) f^((k))(0)x^k` .

:: vedi anche Sviluppi in serie di McLaurin