Formulario: Goniometria

Definizioni

Funzioni goniometriche

`sen alpha = (PQ)/(OP)`,
`cos alpha = (OQ)/(OP)`,
`tg alpha = (PQ)/(OQ)`

Funzioni reciproche

`cosec alpha = 1 / (sen alpha)`,
`sec alpha = 1 / (cos alpha)`,
`ctg alpha = (cos alpha) / (sen alpha) = (OQ)/(PQ)`

Limitazioni

`-1<= sen alpha <= 1`   ,   `-1<= cos alpha <= 1`

Relazioni fondamentali della goniometria

  1. `sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  
  2. `tg alpha = (sen alpha) / cos alpha`

Significato geometrico delle funzioni goniometriche


Muovi il punto P per vedere come variano le lunghezze dei segmenti orientati.

Espressione di tutte le funzioni mediante una sola di esse

  `sen alpha` `cos alpha` `tg alpha` `ctg alpha`
`sen alpha` `sen alpha` `+- sqrt(1-cos^2 alpha)` `(tg alpha) / (+- sqrt(1+tg^2 alpha))` `1 / (+- sqrt(1+ctg^2 alpha))`
`cos alpha` `+- sqrt(1-sen^2 alpha)` `cos alpha` `1 / (+- sqrt(1+tg^2 alpha))` `(ctg alpha) / (+- sqrt(1+ctg^2 alpha))`
`tg alpha` `(sen alpha) / (+- sqrt(1-sen^2 alpha))` `(+- sqrt(1-cos^2 alpha)) / (cos alpha)` `tg alpha` `1 / (ctg alpha)`
`ctg alpha` `(+- sqrt(1-sen^2 alpha)) / (sen alpha)` `(cos alpha) / (+- sqrt(1-cos^2 alpha))` `1 / (tg alpha)` `ctg alpha`

Archi associati

Angoli complementari

`sen (pi/2 - alpha) = cos alpha`
`cos (pi/2 - alpha) = sen alpha`
`tg (pi/2 - alpha) = ctg alpha`
`ctg (pi/2 - alpha) = tg alpha`

Angoli che differiscono di un angolo retto

`sen (pi/2 + alpha) = cos alpha`
`cos (pi/2 + alpha) = -sen alpha`
`tg (pi/2 + alpha) = -ctg alpha`
`ctg (pi/2 + alpha) = -tg alpha`

Angoli che hanno per somma tre angoli retti

`sen ((3pi)/2 - alpha) = -cos alpha`
`cos ((3pi)/2 - alpha) = -sen alpha`
`tg ((3pi)/2 - alpha) = ctg alpha`
`ctg ((3pi)/2 - alpha) = tg alpha`

Angoli che differiscono di tre angoli retti

`sen ((3pi)/2 + alpha) = -cos alpha`
`cos ((3pi)/2 + alpha) = sen alpha`
`tg ((3pi)/2 + alpha) = -ctg alpha`
`ctg ((3pi)/2 + alpha) = -tg alpha`

Angoli supplementari

`sen (pi - alpha) = sen alpha`
`cos (pi - alpha) = -cos alpha`
`tg (pi - alpha) = -tg alpha`
`ctg (pi - alpha) = -ctg alpha`

Angoli che differiscono di un angolo piatto

`sen (pi + alpha) = -sen alpha`
`cos (pi + alpha) = -cos alpha`
`tg (pi + alpha) = tg alpha`
`ctg (pi + alpha) = ctg alpha`

Angoli esplementari

`sen (2pi - alpha) = -sen alpha`
`cos (2pi - alpha) = cos alpha`
`tg (2pi - alpha) = -tg alpha`
`ctg (2pi - alpha) = -ctg alpha`

Angoli opposti

`sen (- alpha) = -sen alpha`
`cos (- alpha) = cos alpha`
`tg (- alpha) = -tg alpha`
`ctg (- alpha) = -ctg alpha`

Formule di addizione e sottrazione

`sen (alpha + beta) = sen alpha cos beta + sen beta cos alpha` ;
`cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sen alpha  sen beta` ;
`tg (alpha + beta) = (tg alpha + tg beta) / (1 - tg alpha tg beta)` ;

`sen (alpha - beta) = sen alpha cos beta - sen beta cos alpha`
`cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sen alpha sen beta`
`tg (alpha - beta) = (tg alpha - tg beta) / (1 + tg alpha tg beta)`

Formule di duplicazione

`sen 2alpha = 2sen alpha cos alpha`
`cos 2alpha = cos^2 alpha - sen^2 alpha = 1 - 2sen^2 alpha = 2cos^2 alpha -1`
`tg 2alpha = (2tg alpha) / (1 - tg^2 alpha)`

Formule di bisezione

`sen alpha/2 = +- sqrt((1 - cos alpha)/2)` ;
`cos alpha/2 = +- sqrt((1 + cos alpha)/2)` ;
`tg alpha/2 = +- sqrt((1-cos alpha)/(1 + cos alpha))`, con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`

Formule parametriche

`sen alpha = (2tg alpha/2)/(1+ tg^2 alpha/2)` , con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`;
`cos alpha = (1 - tg^2 alpha/2)/(1+ tg^2 alpha/2)` , con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`;
`tg alpha = (2 tg alpha/2)/(1 - tg^2 alpha/2)` , con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`

Formule di Werner

`sen alpha sen beta = 1/2 [cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta)]` ;
`cos alpha cos beta = 1/2 [cos (alpha + beta) + cos (alpha - beta)]` :
`sen alpha cos beta = 1/2 [sen (alpha + beta) + sen (alpha - beta)]`

Formule di prostaferesi

`sen alpha + sen beta = 2 sen ((alpha + beta)/2) cos ((alpha - beta)/2)`
`sen alpha - sen beta = 2 sen ((alpha - beta)/2) cos ((alpha + beta)/2)`
`cos alpha + cos beta = 2 cos ((alpha + beta)/2) cos ((alpha - beta)/2)`
`cos alpha - cos beta = -2 sen ((alpha + beta)/2) sen ((alpha - beta)/2)`

Formule di Briggs

`sen alpha/2 = sqrt(((p-b)(p-c))/(bc))` ; `sen beta/2 = sqrt(((p-a)(p-c))/(ac))` ; `sen gamma/2 = sqrt(((p-a)(p-b))/(ab))`
`cos alpha/2 = sqrt((p (p-a))/(bc))` ; `cos beta/2 = sqrt((p (p-b))/(ac))` ; `cos gamma/2 = sqrt((p (p-c))/(ab))`
`tg alpha/2 = sqrt(((p-b)(p-c))/(p (p-a)))` ; `tg beta/2 = sqrt(((p-a)(p-c))/(p (p-b)))` ; `tg gamma/2 = sqrt(((p-a)(p-b))/(p (p-c)))`
`ctg alpha/2 = sqrt((p (p-a))/((p-b)(p-c)))` ; `ctg beta/2 = sqrt((p (p-b))/((p-a)(p-c)))` ; `ctg gamma/2 = sqrt((p (p-c))/((p-a)(p-b)))`

Formule di Nepero

`(a+b)/(a-b) = (tg (alpha + beta)/2)/(tg (alpha - beta)/2)` ; `(a+b)/(a-b) = (ctg gamma/2)/(tg (alpha - beta)/2)`

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Gradi Radianti `sen` `cos` `tg` `ctg`
`0°` `0` `0` `1` `0` non esiste
`30°` `pi/6` `1/2` `sqrt3/2` `sqrt3/3` `sqrt3`
`45°` `pi/4` `sqrt2/2` `sqrt2/2` `1` `1`
`60°` `pi/3` `sqrt3/2` `1/2` `sqrt3` `sqrt3/3`
`90°` `pi/2` `1` `0` non esiste `0`
`180°` `pi` `0` `-1` `0` non esiste
`270°` `(3pi)/2` `-1` `0` non esiste `0`
`360°` `2pi` `0` `1` `0` non esiste

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Vedi anche: