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FORMULARIO: goniometria
 
DEFINIZIONI

» FUNZIONI GONIOMETRICHE
`sen alpha = (PQ)/(OP)`,
`cos alpha = (OQ)/(OP)`,
`tg alpha = (PQ)/(OQ)`

» FUNZIONI RECIPROCHE
`cosec alpha = 1 / (sen alpha)`,
`sec alpha = 1 / (cos alpha)`,
`ctg alpha = (cos alpha) / (sen alpha) = (OQ)/(PQ)`

» LIMITAZIONI
`-1<= sen alpha <= 1`   ,   `-1<= cos alpha <= 1`

» RELAZIONI FONDAMENTALI DELLA GONIOMETRIA

`sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  ; `tg alpha = (sen alpha) / cos alpha`

» SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Muovi il punto P per vedere come variano le lunghezze dei segmenti orientati.
ESPRESSIONE DI TUTTE LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI UN ANGOLO ORIENTATO MEDIANTE UNA SOLA DI ESSE
  `sen alpha` `cos alpha` `tg alpha` `ctg alpha`
`sen alpha` `sen alpha` `+- sqrt(1-cos^2 alpha)`

`(tg alpha) / (+- sqrt(1+tg^2 alpha))`

`1 / (+- sqrt(1+ctg^2 alpha))`

`cos alpha` `+- sqrt(1-sen^2 alpha)` `cos alpha`

`1 / (+- sqrt(1+tg^2 alpha))`

`(ctg alpha) / (+- sqrt(1+ctg^2 alpha))`

`tg alpha`

`(sen alpha) / (+- sqrt(1-sen^2 alpha))`

`(+- sqrt(1-cos^2 alpha)) / (cos alpha)`

`tg alpha` `1 / (ctg alpha)`
`ctg alpha`

`(+- sqrt(1-sen^2 alpha)) / (sen alpha)`

`(cos alpha) / (+- sqrt(1-cos^2 alpha))`

`1 / (tg alpha)` `ctg alpha`
ARCHI ASSOCIATI

ANGOLI COMPLEMENTARI

`sen (pi/2 - alpha) = cos alpha`
`cos (pi/2 - alpha) = sen alpha`
`tg (pi/2 - alpha) = ctg alpha`
`ctg (pi/2 - alpha) = tg alpha`

ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI UN ANGOLO RETTO

`sen (pi/2 + alpha) = cos alpha`
`cos (pi/2 + alpha) = -sen alpha`
`tg (pi/2 + alpha) = -ctg alpha`
`ctg (pi/2 + alpha) = -tg alpha`

ANGOLI CHE HANNO PER SOMMA TRE ANGOLI RETTI

`sen ((3pi)/2 - alpha) = -cos alpha`
`cos ((3pi)/2 - alpha) = -sen alpha`
`tg ((3pi)/2 - alpha) = ctg alpha`
`ctg ((3pi)/2 - alpha) = tg alpha`

ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI TRE ANGOLI RETTI

`sen ((3pi)/2 + alpha) = -cos alpha`
`cos ((3pi)/2 + alpha) = sen alpha`
`tg ((3pi)/2 + alpha) = -ctg alpha`
`ctg ((3pi)/2 + alpha) = -tg alpha`

ANGOLI SUPPLEMENTARI

`sen (pi - alpha) = sen alpha`
`cos (pi - alpha) = -cos alpha`
`tg (pi - alpha) = -tg alpha`
`ctg (pi - alpha) = -ctg alpha`

ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI UN ANGOLO PIATTO

`sen (pi + alpha) = -sen alpha`
`cos (pi + alpha) = -cos alpha`
`tg (pi + alpha) = tg alpha`
`ctg (pi + alpha) = ctg alpha`

ANGOLI ESPLEMENTARI

`sen (2pi - alpha) = -sen alpha`
`cos (2pi - alpha) = cos alpha`
`tg (2pi - alpha) = -tg alpha`
`ctg (2pi - alpha) = -ctg alpha`

ANGOLI OPPOSTI

`sen (- alpha) = -sen alpha`
`cos (- alpha) = cos alpha`
`tg (- alpha) = -tg alpha`
`ctg (- alpha) = -ctg alpha`

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
`sen (alpha + beta) = sen alpha cos beta + sen beta cos alpha` ; `sen (alpha - beta) = sen alpha cos beta - sen beta cos alpha`
`cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sen alpha  sen beta` ; `cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sen alpha sen beta`
`tg (alpha + beta) = (tg alpha + tg beta) / (1 - tg alpha tg beta)` ; `tg (alpha - beta) = (tg alpha - tg beta) / (1 + tg alpha tg beta)`
FORMULE DI DUPLICAZIONE
`sen 2alpha = 2sen alpha cos alpha`
`cos 2alpha = cos^2 alpha - sen^2 alpha = 1 - 2sen^2 alpha = 2cos^2 alpha -1`
`tg 2alpha = (2tg alpha) / (1 - tg^2 alpha)`
FORMULE DI BISEZIONE
`sen alpha/2 = +- sqrt((1 - cos alpha)/2)` ; `cos alpha/2 = +- sqrt((1 + cos alpha)/2)` ; `tg alpha/2 = +- sqrt((1-cos alpha)/(1 + cos alpha))`
FORMULE PARAMETRICHE
`sen alpha = (2tg alpha/2)/(1+ tg^2 alpha/2)` ; `cos alpha = (1 - tg^2 alpha/2)/(1+ tg^2 alpha/2)` ; `tg alpha = (2 tg alpha/2)/(1 - tg^2 alpha/2)` ; con `alpha != pi + 2kpi , k in ZZ`
FORMULE DI WERNER
`sen alpha sen beta = 1/2 [cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta)]`
`cos alpha cos beta = 1/2 [cos (alpha + beta) + cos (alpha - beta)]`
`sen alpha cos beta = 1/2 [sen (alpha + beta) + sen (alpha - beta)]`
FORMULE DI PROSTAFERESI
formula
formula
formula
formula
FORMULE DI BRIGGS

formula , formula , formula
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formula , formula, formula

FORMULE DI NEPERO
formula , formula
FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI      [Tabella completa pdf]
Gradi Radianti `sen` `cos` `tg` `ctg`
`0°` `0` `0` `1` `0` non esiste
`30°` `pi/6` `1/2` `sqrt3/2` `sqrt3/3` `sqrt3`
`45°` `pi/4` `sqrt2/2` `sqrt2/2` `1` `1`
`60°` `pi/3` `sqrt3/2` `1/2` `sqrt3` `sqrt3/3`
`90°` `pi/2` `1` `0` non esiste `0`
`180°` `pi` `0` `-1` `0` non esiste
`270°` `(3pi)/2` `-1` `0` non esiste `0`
`360°` `2pi` `0` `1` `0` non esiste


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