Formulario: funzioni iperboliche e loro inverse

Definizione geometrica

Data l’iperbole equilatera di equazione `x^2 - y^2 = a^2` avente per asintoti le rette `y = x` ed `y = -x` e semiasse reale `a`.
Su uno dei due rami consideriamo un punto `P` di coordinate `x ; y`.
Si ha quindi: `OA = a` , `OQ = x` , `PQ = y`.

definizione geometrica delle funzioni iperboliche

Indicato con `r` il rapporto tra l’area del triangolo mistilineo `S_(OPAP’)` ed il quadrato su `OA`, `r = S_(OPAP’) / a^2`, per definizione si ha:

formula ; formula ; formula

formula ; formula ; formula

Nel caso in cui a = 1 le relazioni diventano:

formula ; formula ; formula

formula ; formula ; formula

Forma esponenziale

Per conoscere i valori che le funzioni iperboliche assumono al variare di `r`, è utile esprimerle in forma esponenziale.

formula ; formula ; formula

formula ; formula ; formula

È ora possibile definire sei funzioni iperboliche del tipo `y = f(x)`, ove `x` ha lo stesso significato di `r`.

formula ; formula; formula

formula ; formula ; formula

Relazioni fondamentali

formula formula formula formula formula

In base a queste relazioni è possibile esprimere ogni funzione iperbolica in funzione delle altre:

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Prendere il segno (`+`) o (`-`) a seconda che sia `x>0` oppure `x<0`.

Relazioni di simmetria

formula ; formula ; formula

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Formule di duplicazione

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Funzioni iperboliche inverse

Delle sei funzioni iperboliche si possono definire le corrispondenti funzioni inverse.

formula con formula e formula

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Definizione logaritmica

formula per qualunque x

formula con formula

formula con formula

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formula con formula e formula