Tracciamo una retta passante per l'origine, come in figura, in modo da formare un angolo con il semiasse positivo delle ascisse.
Puoi muovere la posizione dei punti o lungo la retta o l'inclinazione della retta stessa per vedere come cambiano i valori di tali rapporti.
Puoi variare l'ampiezza dell'angolo ruotando la retta intorno al punto . Inoltre puoi far scorrere la posizione di e di lungo la retta.
Scelto un qualsiasi punto P sulla retta viene a formarsi un triangolo rettangolo OPQ.
È possibile verificare che i rapporti tra le misure dei segmenti non dipendono dalla scelta del punto , ma dall'ampiezza dell'angolo .
Infatti se scegliamo un qualsiasi altro punto, per esempio , i rapporti tra segmenti che si vengono a formare:
, sono uguali a quelli precedenti.
Nota infatti che i due triangoli e sono simili, perciò i lati corrispondenti sono tra loro proporzionali. Puoi verificare quanto detto, variando l'ampiezza dell'angolo e confrontando il valore di tali rapporti, come ti viene indicato in fondo alla figura.
Indichiamo queste relazioni tra i rapporti e l'ampiezza dell'angolo con , e :
, ,
Questa osservazione ci aiuta a comprendere che esiste una relazione tra l'ampiezza dell'angolo e tali rapporti, e che, per i futuri ragionamenti, è conveniente usare una circonferenza goniometrica, dove la distanza del punto da è uguale a 1.