Math.it - Tutorial. Goniometria: archi e angoli

Un angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine.

Si chiama arco di circonferenza o arco circolare la parte di circonferenza interna all'angolo avente per estremi i punti di intersezione con i lati dell'angolo.

L'ampiezza dell'angolo $α$ è dato dal rapporto tra la misura dell'arco e la misura del raggio: $α = \frac{l}{r}$

In goniometria i sistemi di misura prevalentemente usati per misurare le ampiezze degli angoli sono: il sistema sessagesimale ed il sistema circolare.

- Il sistema sessagesimale: ha come unità di misura il grado, che è la 90^a parte di un angolo retto. Il cerchio risulta diviso in 360 gradi (360°). Il grado è diviso a sua volta in 60 minuti primi (60'). Il minuto primo è diviso in 60 minuti secondi (60''). A sua volta il minuto secondo è diviso in 100 centesimi.

- Il sistema circolare: ha come unità di misura il radiante, che è l'ampiezza dell'angolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati intercetta un arco uguale al raggio.

Il radiante è l'ampiezza dell'angolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati intercetta un arco uguale al raggio. Un radiante misura circa 57 gradi. Verificalo provando a formare un angolo di tale ampiezza.

Un angolo giro misura quindi $2 π r a d$ , un angolo piatto $π r a d$ ed un angolo retto $\frac{π}{2} r a d$ .

Per passare da gradi a radianti si usa la formula:

$α^{r a d} = α ° \frac{π}{180} °$

Per passare da radianti a gradi:

$α ° = α^{r a d} \frac{180 °}{π}$

Se provi a muovere la posizione del punto A, noti che variano le lunghezze del raggio r della circonferenza e dell'arco circolare AB, ma non varia l'ampiezza dell'angolo α. Dunque il rapporto tra la misura dell'arco e la misura del raggio è un numero reale $α$ che rimane costante, $α = \frac{l}{r}$ .

Vi sono anche altri sistemi di misura: il sistema decimale (o sessadecimale) che si differenzia dal sessagesimale nel modo di scrivere primi e secondi in maniera decimale appunto. Il sistema centesimale (usato in topografia e ormai in disuso), in cui la suddivisione del cerchio è in 400 gon o grad (400^g). Ogni grado è diviso in 100 primi e ogni primo in 100 secondi.

Se $α$ è misurato in radianti dalla relazione $α = \frac{l}{r}$ è possibile ricavare:
la lunghezza di un arco di circonferenza: $l = α r$
e l'Area del settore circolare: $A_{settore} = \frac{1}{2} l r$ .

Tutorial. Goniometria: archi e angoli. Il radiante