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Funzioni reali

• Una funzione ${\displaystyle f}$ tra due insiemi non vuoti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è una regola che associa ad ogni elemento di ${\displaystyle A}$ un unico elemento di ${\displaystyle B}$.
  Indichiamo questa corrispondenza tra insiemi: ${\displaystyle f:A\to B}$.

• Una funzione ${\displaystyle f}$ si dice numerica o aritmetica se il suo dominio è in ${\displaystyle \mathbb{N}}$ ed è a valori in ${\displaystyle \mathbb{N}}$, ${\displaystyle f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}}$.

• Una funzione ${\displaystyle f}$ si dice reale a variabile reale se il suo dominio è in ${\displaystyle ℝ}$ ed è a valori in ${\displaystyle ℝ}$, ${\displaystyle f:ℝ\to ℝ}$.

• Una funzione ${\displaystyle f:A\to B}$, ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sottoinsiemi di ${\displaystyle ℝ}$, si dice matematica o analitica se esiste una relazione ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ che permette di calcolare univocamente il corrispondente valore ${\displaystyle y}$ appartenente a ${\displaystyle B}$.

• Questa corrispondenza tra elementi si indica con: ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ (si legge effe di ${\displaystyle x}$).
  L'equazione ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ è l'espressione analitica della funzione matematica, con ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ rispettivamente variabile indipendente e variabile dipendente.

• Se ${\displaystyle x}$ è un qualsiasi elemento dell'insieme ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\forall x\in A)}$ con ${\displaystyle f\left(x\right)}$ indichiamo l'elemento ${\displaystyle y\in B}$ che corrisponde ad ${\displaystyle x}$ mediante la funzione ${\displaystyle f}$. L'elemento ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle B}$ si dice immagine di ${\displaystyle x}$ mediante ${\displaystyle f}$.

• Il dominio ${\displaystyle D}$ (o Campo di Esistenza CdE, o anche insieme di definizione) di una funzione è il più ampio sottoinsieme di ${\displaystyle ℝ}$ costituito da tutti e soli i valori della ${\displaystyle x}$ per cui esistano finiti i corrispondenti valori di ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$.
  ${\displaystyle D=\{\forall x\in ℝ\mid \exists y=f\left(x\right)\in ℝ\}}$

• Il codominio ${\displaystyle C}$ di una funzione è il sottoinsieme di ${\displaystyle ℝ}$ costituito da tutti gli elementi ${\displaystyle y}$ corrispondenti dei punti ${\displaystyle x}$ appartenenti al dominio della funzione.
  ${\displaystyle C=\{\forall y\in ℝ\mid \exists x\in D\text{la cui immagine}f\left(x\right)=y\}}$

C L A S S I F I C A R E

E' possibile classificare le funzioni considerando il tipo di operazioni matematiche che compaiono nella sua espressione analitica. Si distinguono:

• le funzioni algebriche (in cui compaiono solo operazioni di tipo algebrico: addizione sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza, radice);

• le funzioni trascendenti (contenenti operazioni trascendenti: logaritmo, esponenziale o le funzioni goniometriche).

• Le funzioni algebriche possono essere:

  • razionali intere
    in generale sono polinomi del tipo:${\displaystyle y=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n}$; es: ${\displaystyle y=3x^2-2x+7}$

  • razionali fratte
    sono del tipo ${\displaystyle y=\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}}$ con ${\displaystyle A\left(x\right)}$ e ${\displaystyle B\left(x\right)}$ polinomi nella variabile ${\displaystyle x}$; es. ${\displaystyle y=\frac{2x^3-3x+1}{x-2}}$

  • irrazionali
    contenenti radicali; es: ${\displaystyle y=5x-\sqrt{3x^2-1}}$

• Le funzioni trascendenti possono essere:

  • logaritmiche [ es: ${\displaystyle y=\log (x+1)}$ ]

  • esponenziali [ es: ${\displaystyle y=3x-1+4e^{x-1}}$ ]

  • goniometriche [ es: ${\displaystyle y=\cos x-3\sin x}$ ]

Schematizzando