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Frazione generatrice di un numero decimale

La frazione generatrice di un numero decimale è quella frazione ordinaria per la quale dividendo il suo numeratore per il suo denominatore fornisce come quoziente il numero decimale.

Per saper come si ottiene la frazione generatrice di un numero decimale periodico puoi fare riferimento alla voce "Frazione generatrice" presente nel formulario. Nelle righe seguenti si vuole invece giustificare perché si usa tale regola che per comodità ripetiamo.
Per ottenere la frazione generatrice partendo da un numero decimale periodico (in cui è presente un periodo ed eventualmente un antiperiodo), si pone per numeratore il numero formato dalla differenza tra tutto il numero scritto senza la virgola (parte intera seguita dall'antiperiodo e dal periodo) e la parte intera seguita dal solo antiperiodo; e come denominatore un numero composto da tanti ${\displaystyle 9}$ quante sono le cifre del periodo e da tanti ${\displaystyle 0}$ quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Qualche esempio di applicazione della regola

${\displaystyle 1,5\overline{7}=1,57777...=\frac{157-15}{90}}$ ${\displaystyle =\frac{142}{90}}$ .

${\displaystyle 3,21\overline{46}=3,214646...}$ ${\displaystyle =\frac{32146-321}{9900}=\frac{31825}{9900}}$ .

${\displaystyle 0,057\overline{3}=0,05733333...}$ ${\displaystyle =\frac{573-57}{9000}=\frac{516}{9000}}$ .

La dimostrazione

Perché usiamo questa regola? Proviamo ad affrontare la questione per gradi.

Primo caso: numero periodico semplice (è presente solo il periodo)

Prendiamo un numero ${\displaystyle n}$ periodico semplice che abbia il periodo composto da una sola cifra:
${\displaystyle n=2,555...=2,\overline{5}}$ e moltiplichiamolo per ${\displaystyle 10}$:
${\displaystyle 10\cdot n=25,555...=25,\overline{5}}$. Ora sottraiamo membro a membro queste due uguaglianze:
${\displaystyle 10\cdot n-n=25,\overline{5}-2,\overline{5}}$ , osserva che il periodo si elimina,
${\displaystyle 9\cdot n=25-2}$, da cui ricaviamo ${\displaystyle n}$:
${\displaystyle n=\frac{25-2}{9}=\frac{23}{9}}$.
La frazione ${\displaystyle \frac{23}{9}}$ che abbiamo ottenuto è la frazione generatrice del numero periodico ${\displaystyle 2,\overline{5}}$.

Ora prendiamo un numero ${\displaystyle n}$ periodico semplice che abbia il periodo composto da due cifre:
${\displaystyle n=7,535353...=7,\overline{53}}$ e moltiplichiamolo per ${\displaystyle 100}$:
${\displaystyle 100\cdot n=753,535353...=753,\overline{53}}$. Ora sottraiamo membro a membro queste due uguaglianze:
${\displaystyle 100\cdot n-n=753,\overline{53}-7,\overline{53}}$ ,
${\displaystyle 99\cdot n=753-7}$, da cui ricaviamo ${\displaystyle n}$:
${\displaystyle n=\frac{753-7}{99}=\frac{746}{99}}$.

Secondo caso: numero periodico misto (è presente il periodo e l'antiperiodo)

Consideriamo un numero ${\displaystyle n}$ periodico misto che abbia l'antiperiodo ed il periodo composto da una sola cifra:
${\displaystyle n=4,13333...=4,1\overline{3}}$ e moltiplichiamolo per ${\displaystyle 10}$:
${\displaystyle 10\cdot n=41,3333...=41,\overline{3}}$ e moltiplichiamo quest'ultimo ancora per ${\displaystyle 10}$:
${\displaystyle 10\cdot n\cdot 10=413,\overline{3}}$ . Ora sottraiamo membro a membro con la prima uguaglianza:
${\displaystyle 100\cdot n-10\cdot n=413,\overline{3}-41,\overline{3}}$ ,
${\displaystyle 90\cdot n=413-41}$, da cui ricaviamo ${\displaystyle n}$ :
${\displaystyle n=\frac{413-41}{90}=\frac{372}{90}}$.

Infine consideriamo un numero ${\displaystyle n}$ periodico misto che abbia l'antiperiodo composto da più cifre per esempio 3 ed il periodo composto da più di una cifra, per esempio 2:
${\displaystyle n=2,317565656...=2,317\overline{56}}$ e moltiplichiamolo per ${\displaystyle 1000}$ (tanti zeri quante sono le cifre del antiperiodo):
${\displaystyle 1000\cdot n=2317,5656...=2317,\overline{56}}$ e moltiplichiamo quest'ultimo ancora per ${\displaystyle 100}$ (tanti zeri quante sono le cifre del periodo):
${\displaystyle 1000\cdot n\cdot 100=231756,565656...=231756,\overline{56}}$ . Ora sottraiamo membro a membro con la prima uguaglianza:
${\displaystyle 100000\cdot n-1000\cdot n=231756,\overline{56}-2317,\overline{56}}$ ,
${\displaystyle 99000\cdot n=231756-2317}$, da cui ricaviamo ${\displaystyle n}$ :
${\displaystyle n=\frac{231756-2317}{99000}=\frac{229439}{99000}}$.
Se la frazione è ottenuta non è irriducibile si semplifica e si riduce ai minimi termini.