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Definizione

L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L'iperbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti.

Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, l'iperbole è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo all'asse del cono.

Iperbole con i fuochi appartenenti all'asse ${\displaystyle x}$

Iperbole con i fuochi appartenenti all'asse ${\displaystyle y}$

:: equazione cartesiana: ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$

:: fuochi: ${\displaystyle F_1(0;-c)}$ , ${\displaystyle F_2(0;c)}$  con   ${\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}}$

:: vertici reali: ${\displaystyle B_1(0;-b)}$, ${\displaystyle B_2(0;b)}$ non sono intersezioni con l'asse ${\displaystyle y}$
:: vertici non reali: ${\displaystyle A_1(-a;0)}$, ${\displaystyle A_2(a;0)}$ intersezioni dell'iperbole con l'asse ${\displaystyle x}$,

:: asse trasverso ${\displaystyle B_1{B}_2}$(asse ${\displaystyle y}$)
:: asse non trasverso ${\displaystyle A_1{A}_2}$ (asse passante per i vertici reali, asse ${\displaystyle x}$)

:: eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): ${\displaystyle e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}}$.

:: asintoti: ${\displaystyle y=-\frac{b}{a}x}$  ,  ${\displaystyle y=\frac{b}{a}x}$

:: Formula dello sdoppiamento: equazione della retta tangente all’iperbole nel suo punto ${\displaystyle P_0(x_0;y_0)}$ : ${\displaystyle \frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=-1}$.

Iperbole equilatera

Se nell'equazione canonica ${\displaystyle a=b}$ l'iperbole si dice equilatera e la sua equazione può essere scritta nella forma:
${\displaystyle x^2-y^2=a^2}$ se i fuochi sono sull'asse ${\displaystyle x}$;
${\displaystyle x^2-y^2=-a^2}$ se invece i fuochi appartengono all'asse ${\displaystyle y}$.

:: asintoti: ${\displaystyle y=-x}$  ,  ${\displaystyle y=x}$ (coincidono con le bisettrici dei quadranti)

:: semidistanza focale: ${\displaystyle c=a\sqrt{2}}$

:: eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): ${\displaystyle e=\sqrt{2}}$.

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

:: equazione cartesiana: ${\displaystyle y=\frac{k}{x}}$ o anche nella forma ${\displaystyle xy=k}$ , ${\displaystyle k>0}$ o ${\displaystyle k<0}$

:: lunghezza del semiasse trasverso: ${\displaystyle a=\sqrt{2\left|k\right|}}$

:: coordinate dei vertici sul semiasse trasverso:
per ${\displaystyle k>0}$: ${\displaystyle A_1(-\sqrt{k};-\sqrt{k})}$ , ${\displaystyle A_2(\sqrt{k};\sqrt{k})}$
per ${\displaystyle k<0}$: ${\displaystyle A_1(-\sqrt{-k};\sqrt{-k})}$ , ${\displaystyle A_2(\sqrt{-k};-\sqrt{-k})}$

:: semidistanza focale: ${\displaystyle c=a\sqrt{2}=2\sqrt{\left|k\right|}}$

:: coordinate dei fuochi:
per ${\displaystyle k>0}$: ${\displaystyle F_1(-\sqrt{2k};-\sqrt{2k})}$ , ${\displaystyle F_2(\sqrt{2k};\sqrt{2k})}$
per ${\displaystyle k<0}$: ${\displaystyle F_1(-\sqrt{-2k};\sqrt{-2k})}$ , ${\displaystyle F_2(\sqrt{-2k};-\sqrt{-2k})}$

Vedi anche:

• La costruzione geometrica della iperbole