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ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE
 
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quadro-elencoNozione di vettore

Il concetto di vettore trova la sua origine nell'ambito della Fisica in quanto in essa la descrizione basata solo su grandezze elementari quali per esempio il tempo, la massa, la temperatura, il volume, si dimostra ben presto inadeguata alla rappresentazione degli oggetti e delle loro relazioni.

Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi. Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle grandezze scalari le altre richiedono di norma un maggior contenuto informativo e vengono rappresentate dalle grandezze vettoriali.

Nella prima categoria rientrano grandezze come la lunghezza, l'area, il volume, il tempo, la temperatura, la pressione, il calore specifico, l'energia ..., e per queste è sufficiente fornire la loro grandezza relativamente ad una opportuna unità di misura: esempi tipici delle grandezze vettoriali sono invece lo spostamento, la velocità, l'accelerazione, la forza, l'impulso, ....

quadro-elencoSegmenti orientati e vettori. [indice]

Scelta un'unità di misura, ad ogni segmento AB si può associare un numero reale non negativo AB.

Sia AB la misura della lunghezza del segmento AB.

Definiamo un segmento orientato come quel segmento di estremi A e B nel quale si sia assegnato un ordine e quindi si possa distinguere un punto iniziale ed uno finale. A tal fine si sceglie il simbolo vettore AB convenendo di considerare A come il punto iniziale e B come quello finale. Graficamente ciò si esprime tramite una freccia che parte da A e giunge in B.

Il simbolo vettore BA individua il segmento orientato di verso opposto ad vettore AB e si pone relazione. Nota che la misura della lunghezza di entrambi è ancora la medesima, AB = BA, e risulta un numero positivo se A diverso da B, mentre è nulla se A = B. In tal caso il segmento orientato vettore AA è detto il segmento orientato nullo.
La lunghezza del segmento orientato si dice norma, in fisica intensità o modulo.

quadro-elencoDefinizioni. [indice]

Un vettore nel piano (o nello spazio) è un ente geometrico caratterizzato da una direzione, un verso e un'intensità (modulo).

Per denotare un vettore utilizziamo il simbolo vettore u, mentre usiamo la notazione vettore  AB per individuare i segmenti orientati rappresentativi del vettore. Per esempio, se due vettori vettore  AB e vettore  AB possiedono la medesima direzione, verso e lunghezza allora sono rappresentativi dello stesso vettore, e si può scrivere vettore.
Indichiamo con modulo del vettore  AB il modulo o norma del vettore vettore  u.

Due vettori si dicono:

equipollenti quando hanno la stessa direzione, lo stesso verso e uguale modulo;
concordi se hanno stessa direzione e stesso verso;
discordi quando hanno stessa direzione e verso contrario;
opposti se hanno uguale intensità e sono discordi.

I punti A e B si chiamano rispettivamente origine ed estremo del vettore.

Se il punto A è fisso il vettore si dice applicato in A, se invece A è un qualunque punto della retta r, sostegno di vettore  u, il vettore si dice applicato ad r. Se non è applicato si dice libero.

quadro-elencoOperazioni con i vettori.

Dati due vettori vettore  u e vettore  v possiamo definire delle operazioni tra essi in modo da associare a ciascuna coppia un altro vettore.

quadro-elencoSomma e differenza di vettori. [indice]

Regola del triangolo. Il vettore somma (o vettore risultante) di due vettori vettore  u e vettore  v si determina graficamente applicando nell'estremo di vettore  u, mediante una traslazione, il vettore vettore  v. Il vettore vettore  w che unisce l'origine di vettore  u con l'estremo di vettore  v fornisce la somma vettore  w.

Regola del parallelogramma. Un altro metodo consiste nella regola del parallelogramma: il vettore risultante vettore  w è rappresentato dalla diagonale del parallelogramma costruito per mezzo dei segmenti orientati rappresentativi dei due vettori e disposti in modo da avere l'origine in comune.

Regola del poligono. Nel caso in cui i vettori siano numerosi si può utilizzare la regola del poligono (metodo punta e coda). Consiste nel traslare i diversi vettori in modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del precedente. Il vettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo.

Proprietà:

  • Commutativa: formula
  • Associativa: formula
  • Elemento neutro: formula

Per determinare il vettore differenza basta sommare ad vettore u l'opposto di vettore v: formula .

Osserviamo che per la differenza di vettori non vale la proprietà commutativa, infatti: formula.

Utilizzando la regola del parallelogramma si può notare che la lunghezza della diagonale uscente dall'origine comune esprime la lunghezza di formula mentre la lunghezza dell'altra diagonale è pari alla lunghezza del vettore formula.

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Somma di vettori. Regola del triangolo.
Prova a variare la lunghezza dei vettori u e v , vedrai modificarsi il vettore somma w.

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Somma di vettori. Regola del parallelogramma.
Prova a variare la lunghezza dei vettori u e v , vedrai modificarsi il vettore somma w.
VERIFICALO, trascinando il vettore v sul suo traslato

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Somma di vettori. Regola del poligono.
Prova a variare la lunghezza dei vettori, vedrai modificarsi il vettore risultante R.

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Differenza di vettori.
Prova a variare la lunghezza dei vettori u e v , vedrai modificarsi il vettore somma w e il vettore differenza w'.

quadro-elencoMoltiplicazione di un vettore per uno scalare. [indice]

Dato uno scalare a (numero reale) e un vettore formula è possibile definire una nuova operazione tale da associare a questi due un altro vettore.

Se moltiplichiamo un numero reale formula per un vettore formula otteniamo un vettore che ha come modulo il prodotto formula, per direzione la stessa direzione di formula e come verso lo stesso di formula se formula, opposto a quello di formula se formula.

Es. formula
In particolare il prodotto di un vettore per il reciproco del suo modulo, formula, viene detto il versore di formula. (Dalla definizione ne segue che il modulo di un versore è uguale a 1).

quadro-elencoScomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate. [indice]

Questo è il procedimento per cui dato un vettore formula e due rette r e s tra loro non parallele, è possibile trovare due vettori disposti lungo r e s in modo che la loro somma sia formula.
Per determinare i vettori componenti secondo le direzioni r e s si conducono dall'estremo del vettore formula le parallele alle rette date fino ad ottenere i punti C e D.

In accordo alla regola del parallelogramma per la somma di vettori, possiamo dunque scrivere che formula e concludere che i vettori formula e formula sono i vettori componenti di vettore u secondo le due rette assegnate r e s .

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Scomposizione di un vettore.
Prova a variare la lunghezza del vettore u e la posizione delle rette r e s , vedrai modificarsi i vettori componenti lungo le direzioni delle rette assegnate.

quadro-elencoComponenti cartesiane di un vettore. [indice]

Sappiamo che un sistema cartesiano ortogonale xOy isometrico si ritiene assegnato quando, definiti due assi ortogonali, su questi si stabiliscono un'origine, un verso positivo e una unità di misura. In alternativa possiamo scegliere due versori ortogonali versore i e versore j: questi determinano due direzioni ortogonali, un verso positivo, e inoltre il segmento unitario rappresenta l'unità di misura. La coppia di versori coppia di versori costituisce una base per il riferimento cartesiano.

Possiamo pertanto esprimere un qualsiasi vettore vettore u del piano nei termini delle sue componenti, ovvero come formula, e identificare la coppia di numeri (x,y) come le componenti cartesiane di vettore u e i vettori xi e yj come i vettori componenti cartesiani di vettore u.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAC si può ricavare il modulo del vettore formula: formula.

Se in un riferimento cartesiano i punti origine ed estremi di un vettore vettore AB sono dati attraverso le loro coordinate cartesiane, formula e formula, le componenti del vettore vettore AB nella base base i,j si ottengono dalla differenza delle corrispondenti coordinate dell'estremo B con quelle del punto iniziale A, ossia formula.

Il modulo di vettore AB si ottiene applicando il Teorema di Pitagora: formula.

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Componenti cartesiane di un vettore.
Prova a variare la lunghezza del vettore, vedrai come variano le sue componenti cartesiane.

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quadro-elencoProdotto scalare di due vettori. [indice]

Il prodotto scalare (o interno) di due vettori vettore u e vettore v, indicato con u x v, è il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato: formula.

Osservazione: il prodotto scalare di due vettori è un numero.

Geometricamente il prodotto scalare di due vettori è il prodotto del modulo del primo moltiplicato per il modulo della proiezione del secondo sul primo.

Proprietà:
- il prodotto scalare è commutativo: formula ;
- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: formula.

Se i due vettori del piano xOy sono assegnati attraverso le loro componenti cartesiane,
formula
formula,
il prodotto scalare dei due vettori è dato dalla somma dei prodotti delle rispettive componenti: formula.

Osservazione: da questa definizione si deduce che il prodotto scalare di due vettori non nulli è nullo se e solo se i due vettori sono tra loro perpendicolari: formula .

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Prodotto scalare di due vettori.
Prova a variare la lunghezza del vettore u e v , vedrai modificarsi la proiezione di v lungo u.

quadro-elencoProdotto vettoriale di due vettori. [indice]

Si definisce prodotto vettoriale (o esterno) di due vettori vettore u e vettore v, non nulli né paralleli, indicato con u esterno v, il vettore che ha per direzione la perpendicolare al piano individuato da vettore u e vettore v, per modulo il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell'angolo da essi formato formula, e il verso (regola della mano destra) è indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita, inizialmente disposte lungo vettore  u, si avvolgono verso vettore v percorrendo l'angolo alfa).

Proprietà:
- il prodotto vettoriale non è commutativo: formula ;
- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: formula.

Se i due vettori del piano xOy sono assegnati attraverso le loro componenti cartesiane,
formula
formula,
il prodotto vettoriale dei due vettori è dato da: formula.

Osservazioni:
il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore;
il prodotto vettoriale di due vettori non nulli è nullo se e solo se i vettori sono tra loro paralleli;

Area del parallelogramma ABCD = formula
Area del triangolo ABC =formula

quadro-elencoProdotto misto di tre vettori. [indice]

Si definisce prodotto misto di tre vettori vettore u, vettore v e vettore w lo scalare formula.
Osservazioni:
l'operazione di prodotto vettoriale deve precedere quella di prodotto scalare, perché, mentre il risultato della prima è ancora un vettore che può subire la seconda, il risultato della seconda è uno scalare che non avrebbe senso moltiplicare vettorialmente; il prodotto misto si può indicare anche con la scrittura formula dove però è sottointeso l'uso della proprietà associativa: formula.
formula i tre vettori sono complanari.

Proprietà:
formula

Il valore assoluto del prodotto misto formula di tre vettori misura algebricamente il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori;

Area del tetraedro = formula

quadro-elencoDoppio prodotto vettoriale. [indice]

Viene definito doppio prodotto vettoriale il vettore formula. Le parentesi sono indispensabili perché il doppio prodotto vettoriale non gode della proprietà associativa per cui: formula.


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