- Nozione di vettore. Grandezze vettoriali e grandezze scalari
- Segmenti orientati e vettori
- Definizioni
- Operazioni con i vettori
Il concetto di vettore trova la sua origine nell'ambito della Fisica in quanto in essa la descrizione basata solo su grandezze elementari quali per esempio il tempo, la massa, la temperatura, il volume, si dimostra ben presto inadeguata alla rappresentazione degli oggetti e delle loro relazioni.
Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi. Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle grandezze scalari le altre richiedono di norma un maggior contenuto informativo e vengono rappresentate dalle grandezze vettoriali.
Nella prima categoria rientrano grandezze come la lunghezza, l'area, il volume, il tempo, la temperatura, la pressione, il calore specifico, l'energia ..., e per queste è sufficiente fornire la loro grandezza relativamente ad una opportuna unità di misura: esempi tipici delle grandezze vettoriali sono invece lo spostamento, la velocità, l'accelerazione, la forza, l'impulso, ....
Scelta un'unità di misura, ad ogni segmento `bar(AB)` si può associare un numero reale non negativo `AB`.
Sia `AB` la misura della lunghezza del segmento `bar(AB)`.
Definiamo un segmento orientato come quel segmento di estremi `A` e `B` nel quale si sia assegnato un ordine e quindi si possa distinguere un punto iniziale ed uno finale. A tal fine si sceglie il simbolo `vec(AB)` convenendo di considerare `A` come il punto iniziale e `B` come quello finale. Graficamente ciò si esprime tramite una freccia che parte da `A` e giunge in `B`.
Il simbolo `vec(BA)` individua
il segmento orientato di verso opposto ad `vec(AB)` e
si pone `vec(AB) = -vec(BA)`.
Nota che la misura della lunghezza di entrambi è ancora la
medesima, `AB = BA`, e risulta un numero positivo se `A != B`,
mentre è nulla se `A = B`. In tal caso
il segmento orientato `vec(A A)` è detto
il segmento orientato nullo: `vec(0)`.
La lunghezza del segmento orientato si dice norma, in fisica intensità o modulo.
Un vettore nel piano (o nello spazio) è un ente geometrico caratterizzato da una direzione, un verso e una intensità o (modulo).
Per denotare un vettore utilizziamo il simbolo `vec(u)`, mentre usiamo la notazione `vec(AB)` per individuare i segmenti orientati
rappresentativi del vettore. Per esempio, se due vettori `vec(AB)` e `vec(CD)` possiedono
la medesima direzione, verso e lunghezza allora sono rappresentativi
dello stesso vettore, e si può scrivere `vec(u) = vec(AB) = vec(CD)`.
Indichiamo con `|vec(u)|` il modulo o norma del
vettore `vec(u)`.
Due vettori si dicono:
equipollenti quando hanno la stessa direzione, lo stesso verso e uguale modulo;
concordi se hanno stessa direzione e stesso verso;
discordi quando hanno stessa direzione e verso contrario;
opposti se hanno uguale intensità e sono discordi.
I punti `A` e `B` si chiamano rispettivamente origine ed estremo del vettore.
Se il punto `A` è fisso, si dice vettore applicato in `A`, se invece `A` è un qualunque punto della retta `r`, sostegno di `vec(u)`, il vettore si dice applicato ad `r`. Se non è applicato si dice libero.
Dati due vettori `vec(u)` e `vec(v)` possiamo definire delle operazioni tra essi in modo da associare a ciascuna coppia un altro vettore.
Regola del triangolo. Il vettore somma (o vettore risultante) di due vettori `vec(u)` e `vec(v)`si determina graficamente applicando nell'estremo di `vec(u)`, mediante una traslazione, il vettore `vec(v)`. Il vettore `vec(w)` che unisce l'origine di `vec(u)` con l'estremo di `vec(v)` fornisce la somma `vec(w) = vec(u) + vec(v)`.
Regola del parallelogramma. Un altro metodo consiste nella regola del parallelogramma: il vettore risultante `vec(w) = vec(u) + vec(v)` è rappresentato dalla diagonale del parallelogramma costruito per mezzo dei segmenti orientati rappresentativi dei due vettori e disposti in modo da avere l'origine in comune.
Regola del poligono. Nel caso in cui i vettori siano numerosi si può utilizzare la regola del poligono (metodo punta e coda). Consiste nel traslare i diversi vettori in modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del precedente. Il vettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo.
Per determinare il vettore differenza basta sommare ad `vec(u)` l'opposto di `vec(v)`: = `vec(u) - vec(v) = vec(u) + (-vec(v))`.
Osserviamo che per la differenza di vettori non vale la proprietà commutativa, infatti: `vec(u) - vec(v) = -(vec(v) - vec(u))`.
Utilizzando la regola del parallelogramma si può notare che la lunghezza della diagonale uscente dall'origine comune esprime la lunghezza di `vec(u) + vec(v)` mentre la lunghezza dell'altra diagonale è pari alla lunghezza del vettore `vec(u) - vec(v)`.
Dato uno scalare `a` (numero reale) e un vettore `vec(u)` è possibile definire una nuova operazione tale da associare a questi due un altro vettore.
Se moltiplichiamo un numero reale `a` per un vettore `vec(u)`otteniamo un vettore che ha come modulo il prodotto `a*vec(u)`, per direzione la stessa direzione di `vec(u)`e come verso lo stesso di `vec(u)`se `a>0`, opposto a quello di `vec(u)`se `a<0`.
In particolare il prodotto di un vettore per il reciproco del suo modulo, `1/|vec(u)| * vec(u)`, viene detto il versore di `vec(u)`. (Dalla definizione ne segue che il modulo di un versore è uguale a 1).
Questo è il procedimento per cui dato un vettore `vec(u)` e due rette `r` e `s` tra
loro non parallele, è possibile trovare due vettori disposti
lungo `r` e `s` in modo che la loro somma sia `vec(u)`.
Per determinare i vettori componenti secondo le direzioni `r` e `s` si
conducono dall'estremo del vettore `vec(u)` le parallele alle rette date.
In accordo alla regola del parallelogramma per la somma di vettori, possiamo dunque scrivere che `vec(u) = vec(a) + vec(b)` e concludere che i vettori e `vec(a)` e `vec(b)` sono i vettori componenti di `vec(u)` secondo le due rette assegnate `r` e `s` .
Sappiamo che un sistema cartesiano ortogonale `xOy` isometrico si ritiene assegnato quando, definiti due assi ortogonali, su questi si stabiliscono un'origine, un verso positivo e una unità di misura. In alternativa possiamo scegliere due versori ortogonali `vec(i)` e `vec(j)`: questi determinano due direzioni ortogonali, un verso positivo, e inoltre il segmento unitario rappresenta l'unità di misura. La coppia di versori `{vec(i);vec(j)}` costituisce una base per il riferimento cartesiano.
Possiamo pertanto esprimere un qualsiasi vettore `vec(u)` del piano nei termini delle sue componenti, ovvero come `vec(u) = x vec(i) + y vec(j)`, e identificare la coppia di numeri `(x;y)` come le componenti cartesiane di `vec(u)` e i vettori `x vec(i)` e `y vec(j)` come i vettori componenti cartesiani di `vec(u)` .
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo `OAC` si può ricavare il modulo del vettore `vec(u) = vec(OA)`con la formula:`|vec(OA)| = sqrt(x^2 + y^2)`.
Se in un riferimento cartesiano i punti origine ed estremi di un vettore `vec(AB)`sono dati attraverso le loro coordinate cartesiane, `A = (x_A;y_A)` e `B = (x_B;y_B)`, le componenti del vettore `vec(AB)` nella base `{vec(i);vec(j)}` si ottengono dalla differenza delle corrispondenti coordinate dell'estremo `B` con quelle del punto iniziale `A`, ossia `vec(AB) = (x_B-x_A)vec(i) + (y_B-y_A)vec(j)`.
Il modulo di `vec(AB)` si ottiene applicando il Teorema di Pitagora: `|vec(AB)| = sqrt((x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2)`.
Il prodotto scalare (o interno) di due vettori `vec(u)` e `vec(v)`, indicato con `vec(u) @ vec(v)`, è il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato: `vec(u) @ vec(v) = |vec(u)| * |vec(v)| * cos alpha`.
Osservazione: il prodotto scalare di due vettori è un numero.
Geometricamente il prodotto scalare di due vettori è il prodotto del modulo del primo moltiplicato per il modulo della proiezione del secondo sul primo.
- il prodotto scalare è commutativo: `vec(u) @ vec(v) = vec(v) @ vec(u)`;
- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: `(vec(u) + vec(v)) @ vec(w) = vec(u) @ vec(w) + vec(v) @ vec(w)`.
Se i due vettori del piano `xOy` sono
assegnati attraverso le loro componenti cartesiane,
`vec(u) = u_x vec(i) + u_y vec(j)`,
`vec(v) = v_x vec(i) + v_y vec(j)`,
il prodotto scalare dei due vettori è dato dalla somma dei prodotti delle
rispettive componenti: `vec(u) @ vec(v) = u_x * v_x + u_y * v_y`.
Osservazione: da questa definizione si deduce che il prodotto scalare di due vettori non nulli è nullo se e solo se i due vettori sono tra loro perpendicolari: `vec(u) @ vec(v) = 0 <=> vec(u) _|_ vec(v)`.
Si definisce prodotto vettoriale (o esterno) di due vettori `vec(u)` e `vec(v)`, non nulli né paralleli, indicato con `vec(u) xx vec(v)`, il vettore che ha per direzione la perpendicolare al piano individuato da `vec(u)` e `vec(v)`, per modulo il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell'angolo da essi formato `|vec(u) xx vec(v)| = |vec(u)| * |vec(v)| * sen alpha` , e il verso (regola della mano destra) è indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita, inizialmente disposte lungo `vec(u)`, si avvolgono verso `vec(v)` percorrendo l'angolo `alpha`.
- il prodotto vettoriale non è commutativo (è anticommutativo): `vec(u) xx vec(v) = -vec(v) xx vec(u)`;
- vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: `(vec(u) + vec(v)) xx vec(w) = vec(u) xx vec(w) + vec(v) xx vec(w)`.
Se i due vettori del piano `xOy` sono assegnati attraverso le loro componenti cartesiane,
`vec(u) = u_x vec(i) + u_y vec(j)`,
`vec(v) = v_x vec(i) + v_y vec(j)`,
il prodotto vettoriale dei due vettori è dato da: `vec(u) xx vec(v) = (u_x * v_x - u_y * v_y)*vec(k)`.
il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore;
il prodotto vettoriale di due vettori non nulli è nullo se e solo se i
vettori sono tra loro paralleli: `vec(u) xx vec(v) = vec(0) <=> vec(u)` `||` `vec(v)`.
`text(Area del parallelogramma ABCD) = |vec(u) xx vec(v)|`,
`text(Area del triangolo ABC) = 1/2 |vec(u) xx vec(v)|`.
Si definisce prodotto misto di tre vettori `vec(u)`, `vec(v)` e `vec(w)` lo scalare `vec(u) xx vec(v) @ vec(w)`.
l'operazione di prodotto vettoriale deve precedere quella di prodotto scalare, perché, mentre il risultato della prima è ancora un vettore che può subire la seconda, il risultato della seconda è uno scalare che non avrebbe senso moltiplicare vettorialmente; il prodotto misto si può indicare anche con la scrittura `vec(u) @ vec(v) xx vec(w)` dove però è sottointeso l'uso della proprietà associativa: `vec(u) @ (vec(v) xx vec(w))`.
`vec(u) xx vec(v) @ vec(w) = 0 <=>` i tre vettori sono complanari.
`vec(u) xx vec(v) @ vec(w) = vec(v) xx vec(w) @ vec(u) = vec(w) xx vec(u) @ vec(v)`
Se si costruisce un parallelepipedo sui tre vettori:
`text(Volume del parallelepipedo) = vec(u) xx vec(v) @ vec(w)`, (preso in valore assoluto).
`text(Area del tetraedro) = 1/6 (vec(u) xx vec(v) @ vec(w))`.
Viene definito doppio prodotto vettoriale il vettore `(vec(u) xx vec(v)) xx vec(w)`. Le parentesi sono indispensabili perché il doppio prodotto vettoriale non gode della proprietà associativa per cui: `(vec(u) xx vec(v)) xx vec(w) != vec(u) xx (vec(v) xx vec(w))`.