Obiettivo Politecnico. Lezione 3. Soluzioni

Soluzioni

Febbraio 2010

(1) L'insieme dei punti del piano tali che `log_2(y-x+3) > 1`

  1. contiene l'asse `y`
  2. è contenuto nel cerchio di centro `C(1;1)` e raggio `3`
  3. contiene la retta `y = 9 - x`
  4. è un semipiano contenente l'origine (V)
  5. è un semipiano che non contiene l'origine.

Soluzione:

`{(log_2(y-x+3) > 1),(y-x+3>0):}` , `{(log_2(y-x+3) > log_2 2) , (y-x+3 > 0):}` , `{(y-x+3 > 2) , (y-x+3 > 0):}` , `{(y > x - 1), (y> x - 3):}` `=>` `y > x - 1`.

Quindi la risposta corretta è la (d).

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(2) L'insieme dei punti `(x;y)` del quadrato di vertici `(0;0), (0;2pi), (2pi;2pi), (2pi;0)` che soddisfano la disuguaglianza `sinx * cosy > 0` è l'insieme colorato nelle figure (scegli quella corretta tra le 5 seguenti):

  1. A
  2. B
  3. (V)
  4. C
  5. D
  6. E

Soluzione:

Studiamo il segno del prodotto: `sin x cosy > 0` negli intervalli `0 < x < 2pi` e `0 < y < 2pi`:

`{(sin x > 0),(cos y > 0):} vv {(sin x < 0),(cos y < 0):}`

`{(0 < x < pi),(0 < y < pi/2 vv (3pi)/2 < y < 2pi):} vv {(pi < x < 2pi),(pi/2 < y < (3pi)/2):}`

soluzione grafica

(3) I punti dell'insieme colorato nella figura (contorno escluso) sono tutte e sole le soluzioni del sistema: domanda3

  1. `{(y >= 0),(y <= 1-x^2):}`
  2. `{(x + y^2 -1 < 0),(0 < x+y < 2):}`
  3. `{(y + x^2 -1 > 0),(y > 2), (abs x > 1):}`
  4. `{(y - x^2 +1 > 0),(y < 2), (abs x < 1):}` (V)
  5. `{(y + x^2 -1 > 0),(x < 2), (abs y > 1):}`

Soluzione:

La risposta coinvolge una figura in cui il contorno è escluso quindi la rsposta (a) non può essere la risposta che comunque rappresenta la regione compresa tra una parabola ed una retta:

soluzione grafica

La proposta (b) comporta la seguente soluzione:

`{(x + y^2 -1 < 0),(0 < x+y < 2):}` , che è equivalente a `{(x < -y^2 + 1),(y > -x),(y < -x + 2):}`

soluzione grafica

La proposta (c) comporta la seguente soluzione:

`{(y > -x^2 + 1),(y > 2), (abs x > 1):}` `->` `{(y > -x^2 + 1),(y > 2), (x < -1 vv x > 1):}`

soluzione grafica

La proposta (d) comporta la seguente soluzione:

`{(y - x^2 +1 > 0),(y < 2), (abs x < 1):}` `->` `{(y > x^2 -1 > 0),(y < 2), (x < -1 vv x > 1):}`

Soluzione grafica

che costituisce la risposta alla domanda.

Infine la proposta (e) comporta la seguente soluzione:

`{(y + x^2 -1 > 0),(x < 2), (abs y > 1):}`

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(4) L'insieme dei punti della corona circolare di centro l'origine e con raggio interno uguale a `1` e con raggio
esterno uguale a `2` (contorno compreso):

  1. è la soluzione di `(x+y-1)(x+y-4) <= 0`
  2. è la soluzione di `(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4) >= 0`
  3. ha area uguale a `4pi`
  4. è la soluzione di `(x^2-y^2-1)(x^2-y^2-4) >= 0`
  5. è la soluzione di `(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4) <= 0` (V)

Soluzione:

Esaminando le proposte osserviamo che nella (c) l'area della corona circolare dovrebbe misurare `4pi-pi = 3pi`. La (a) è il prodotto tra due rette; la (d) è il prodotto tra due iperboli, quindi sono da escludere. Affinché risulti essere una corona circolare dovrà essere una regione esterna ad una circonferenza di raggio minore e contemporaneamente interna ad una circonferenza con raggio maggiore della precedente, quindi concentriamoci sulla risposta (e).

Studiamo il segno del prodotto `(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4) <= 0` ovvero i due sistemi:

`{(x^2+y^2-1 >= 0),(x^2+y^2-4 <= 0):} vv {(x^2+y^2-1 <= 0),(x^2+y^2-4 >= 0):} ->` `{(x^2+y^2 >= 1),(x^2+y^2 <= 4):} vv {(x^2+y^2 <= 1),(x^2+y^2 >= 4):}`

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(5) L'insieme dei punti `(x;y)` soluzione della disequazione: `(3-x)(y+1)>0`

  1. è il semipiano formato dai punti `x<3`
  2. contiene il secondo quadrante (V)
  3. è il semipiano formato dai punti `y > -1`
  4. contiene il segmento di estremi `A=(0;0)` e `B=(4;0)`
  5. contiene la retta `y = -1`.

Soluzione:

`{(3-x > 0),(y+1 >0):} vv {(3-x < 0),(y+1 <0):}`

`{(x < 3),(y > -1):} vv {(x > 3),(y < -1):}`

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(6) Si consideri il triangolo `T` di vertici `A=(0;0)`, `B=(1;1)` e `C=(-1;1)`, incluso il contorno. I punti del
triangolo `T` sono tutte e solo le soluzioni del sistema:

  1. `{(y <= 1),(y >= x),(x+y < -1):}`
  2. `{(y <= 1),(x+y >= 0),(3x+y < -1):}`
  3. `{(y <= 1),(x+y >= 0),(x-y <= 0):}` (V)
  4. `{(y >= 1),(x-y <= 0),(2x+y <= 0):}`
  5. `{(x <= 1),(x-y >= 0),(x+2y < 0):}`

Soluzione:

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(7) L'insieme dei punti `(x;y)` del piano, che soddisfano la disuguaglianza `(3x-y)/(6y+x) < 0`

  1. contiene l'asse `x`;
  2. contiene il segmento di estremi `A=(-1;0)` e `B=(0;1)`;
  3. contiene il segmento di estremi `E=(0;1)` e `F=(0;3)`; (V)
  4. contiene il segmento di estremi `C=(1;1)` e `D=(-2;3)`;
  5. contiene il terzo quadrante.

Soluzione:

Impostiamo i due sistemi per lo studio del segno del rapporto dato:

`{(3x-y > 0),(6y+x < 0):} vv {(3x-y < 0),(6y+x > 0):}` `->` `{(y < 3x),(y < -x/6):} vv {(y > 3x),(y > -x/6):}`

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(8) Le soluzioni del sistema `{(x^2+y^2 <= 4),(y - x > 0):}` sono i punti `(x;y)` del piano che stanno:

  1. al di fuori della circonferenza di centro l'origine e raggio `2` (bordo escluso) e sopra la retta
    bisettrice del I e III quadrante (retta esclusa);
  2. dentro la circonferenza di centro l'origine e raggio `2` (bordo compreso) e sotto la retta
    bisettrice del I e III quadrante (retta esclusa);
  3. al di fuori della circonferenza di centro l'origine e raggio `2` (bordo compreso) e sopra la retta
    bisettrice del I e III quadrante (retta compresa);
  4. sopra la retta bisettrice del I e III quadrante (retta esclusa) e dentro la circonferenza di centro
    l'origine e raggio `2` (bordo escluso);
  5. sopra la retta bisettrice del I e III quadrante (retta esclusa) e dentro la circonferenza di centro
    l'origine e raggio `2` (bordo compreso), esclusi i due punti di intersezione della circonferenza e
    della retta. (V)

Soluzione:

`{(x^2+y^2 <= 4),(y - x > 0):}` `->` `{(x^2+y^2 <= 4),(y > x):}`

soluzione grafica