La tangentoide: dalla circonferenza goniometrica alla curva
Studiare la variazione geometrica di un rapporto non è intuitivo. È più comodo determinare se esiste un solo segmento la cui variazione sia equivalente al rapporto che definisce la tangente dell'angolo.
Il segmento che cerchiamo è rappresentato in figura dal segmento `AT`, infatti per il teorema di Talete (o se preferisci per il 3° criterio di similitudine sui triangoli rettangoli: i 3 angoli dei due triangoli sono tra loro uguali), i due triangoli `OAT` e `OQP` sono simili; quindi i segmenti corrispondenti sono due a due in proporzione. Possiamo perciò scrivere che i rapporti `(PQ)/(OQ) = (AT)/(OA)`. Ma essendoci posti in una circonferenza goniometrica dove `OP = OA = 1` , ecco dimostrato che il rapporto `(PQ)/(OQ) = AT`.
Prova a variare l'ampiezza dell'angolo `alpha` muovendo il punto `P` lungo la circonferenza goniometrica (`OP=1`). In questo modo puoi studiare come varia il rapporto tra il cateto `PQ` e il cateto `OQ`. Chiamiamo questo rapporto `tan alpha = (PQ)/(OQ)`, con `alpha !=(pi)/2`.
Nel I quadrante la misura del segmento `AT` è positiva e cresce da `0` a `+oo`; quando l'angolo misura 90° `AT` diventa infinito, il rapporto `(PQ)/(OQ)` perde significato essendo nullo il suo denominatore; nel II quadrante `AT` cresce passando da un valore molto grande ma negativo (`-oo`) a `0`, quando l'angolo misura 180°. Poi vengono ripresi gli stessi valori.
Considerata la definizione possiamo allora scrivere la relazione `tan alpha = (sin alpha)/(cos alpha)`, con `alpha !=(pi)/2`, che costituisce la seconda relazione fondamentale della goniometria.
I valori entro i quali tale misura può variare sono compresi tra `-oo` e `+oo`, allorché l'angolo passa da 0° a 180°. Per angoli di ampiezza maggiore, puoi notare che vengono ripresi gli stessi valori. Diciamo allora che il periodo della funzione `tan alpha` è di 180° o anche di `pi` radianti. La funzione `tan alpha` assume valori finiti solo se l'ampiezza dell'angolo è diverso da un multiplo dispari di `(pi)/2` ovvero `alpha != (2k+1)(pi)/2, k in ZZ`.
La variazione della misura del rapporto in funzione della variazione dell'ampiezza dell'angolo si visualizza bene attraverso la rappresentazione grafica della funzione.
La funzione tangente è periodica. Ogni 180° (`pi` radianti) vengono ripresi gli stessi valori.
Ricorda da questa esperienza che la tangente di un angolo non è un segmento, ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale.