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TUTORIAL : studio di funzione
 

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale formula

Sequenza dei passi minimi utili allo studio di una funzione reale formula

In pratica

Stabilire se la funzione presenta delle simmetrie e/o è periodica.

»  Se formula è simmetrica rispetto all'asse y, deve verificarsi:
formula. (funzione pari)
»  Se formula è simmetrica rispetto all'origine degli assi, deve verificarsi:
formula. (funzione dispari)
Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano formula; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta rispetto all'asse y o all'Origine.
»  Se formula è periodica, si può limitare lo studio all'ampiezza del periodo.

Determinare il Campo di Esistenza, o Dominio, della funzione.
(Si tratta di individuare gli intervalli in cui la funzione assume valori Reali; ovvero determinare l'insieme dei punti formula in cui la funzione non è definita ed escluderli).

Classifica il tipo di funzione:

»  se è una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto l'asse Reale
»  se la funzione è una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero.
I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo CDE, per tali punti formula la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva;
»  se la funzione è irrazionale, guarda l'indice del radicale:
»  se è pari dovrai imporre che il radicando non sia negativo poiché la funzione è a valori Reali,
»  se è dispari, non ci sono imposizioni.
»  Se la funzione è logaritmica ricordati di imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo.
»  Se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni.
»  Se la funzione è trigonometrica bisognerà imporre che gli argomenti della funzione tangente siano diversi da multipli dispari di angoli retti formula.
»  Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni dovranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni.

Scrivi il dominio come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori Reali.

Segna graficamente gli intervalli o i punti in cui la funzione non esiste.

Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del CDE.

Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti formula
formula......
e all'infinito
formula......
Riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.

Ricerca degli eventuali asintoti verticali e orizzontali

» Se formula ,
formula è un asintoto verticale.
»  Se formula (finito) ,
formula è un asintoto orizzontale

Ricercare l'eventuale intersezione della funzione con l'asse x

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse:
formula
ovvero risolvi l'equazione formula.

Ricercare l'eventuale intersezione della funzione con l'asse y

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate:
formula
ovvero calcola formula.

Studiare il segno della funzione

Studia la disequazione formula.
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

Calcolo delle derivate prima e seconda.
Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso.

formula = ..............

 

formula = ..............

Ricerca degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo.

curva curva

C.N. affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo è che formula= 0.
Dunque si tratta di risolvere tale equazione. I valori formula che la soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso.
I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici.

Studio della monotonia della funzione

curva curva

Per sapere se questi sono punti di massimo o di minimo per la curva si può procedere in due modi.

1 metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si impone che formula.
Lo studio degli intervalli di monotonia, cioè dove la curva è crescente o decrescente, ci fa comprendere se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
Se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono né di massimo né di minimo.

2 metodo: si sostituiscono le ascisse dei punti formula nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume.

formula: se è positiva la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo;
formula: se è negativa la concavità sarà rivolta verso il basso per cui il punto è un massimo.
formula: se è nulla il punto è molto probabilmente di flesso.

Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nell'equazione della curva e ricava l'ordinata.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Studio dei punti di non derivabiltà

curva curva
curva

Determina il Campo di Esistenza della derivata prima formula.
Se formula è un punto appartenente al CDE della funzione, ma è un punto di non derivabilità:

»  se formula e formula con formula,
alloraformula è un punto angoloso;
»  se formula e formula,
allora formula è una cuspide
»  se formula,
alloraformula è un flesso a tangente verticale.

Ricerca degli eventuali punti di flesso a tangente orizzontale

curva curva

Imponi formula e risolvi.
I valori che soddisfano l'equazione sono molto probabilmente le ascisse dei punti di flesso.

Studio della concavità e della convessità della funzione:

curva
convessa
curva
concava

Studia il segno della derivata seconda: formula> 0.
Negli intervalli in cui risulta positiva (formula> 0), la curva rivolge la concavità verso l'alto (convessa), in caso contrario (formula< 0) volge la concavità verso il basso (concava).
Le soluzioni di formula sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso, e la tangente si dispone orizzontalmente.

Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di flesso

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell'equazione della curva e ricava l'ordinata corrispondente.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Ricerca degli eventuali asintoti obliqui

curva

Se formula, allora si calcolano i due limiti :
formula che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e
formula che fornisce il valore del termine noto q della retta.
Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta formula è un asintoto della curva.

A questo punto dovresti avere sufficienti elementi per comporre qualitativamente l'andamento della curva.


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