In pratica

»  Se è simmetrica rispetto all'asse y, deve verificarsi:
. (funzione pari)
»  Se è simmetrica rispetto all'origine degli assi, deve verificarsi:
. (funzione dispari)
Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano ; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta rispetto all'asse y o all'Origine.
»  Se è periodica, si può limitare lo studio all'ampiezza del periodo.

Classifica il tipo di funzione:

»  se è una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto l'asse Reale
»  se la funzione è una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero.
I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo CDE, per tali punti la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva;
»  se la funzione è irrazionale, guarda l'indice del radicale:
»  se è pari dovrai imporre che il radicando non sia negativo poiché la funzione è a valori Reali,
»  se è dispari, non ci sono imposizioni.
»  Se la funzione è logaritmica ricordati di imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo.
»  Se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni.
»  Se la funzione è trigonometrica bisognerà imporre che gli argomenti della funzione tangente siano diversi da multipli dispari di angoli retti .
»  Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni dovranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni.

Scrivi il dominio come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori Reali.

Segna graficamente gli intervalli o i punti in cui la funzione non esiste.

Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti
......
e all'infinito
......
Riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.

» Se ,
è un asintoto verticale.
»  Se (finito) ,
è un asintoto orizzontale

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse:

ovvero risolvi l'equazione .

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate:

ovvero calcola .

Studia la disequazione .
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

= ..............

= ..............

C.N. affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo è che = 0.
Dunque si tratta di risolvere tale equazione. I valori che la soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso.
I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici.

Per sapere se questi sono punti di massimo o di minimo per la curva si può procedere in due modi.

1° metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si impone che .
Lo studio degli intervalli di monotonia, cioè dove la curva è crescente o decrescente, ci fa comprendere se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
Se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono né di massimo né di minimo.

2° metodo: si sostituiscono le ascisse dei punti nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume.

: se è positiva la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo;
: se è negativa la concavità sarà rivolta verso il basso per cui il punto è un massimo.
: se è nulla il punto è molto probabilmente di flesso.

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nell'equazione della curva e ricava l'ordinata.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Determina il Campo di Esistenza della derivata prima .
Se è un punto appartenente al CDE della funzione, ma è un punto di non derivabilità:

»  se e con ,
allora è un punto angoloso;
»  se e ,
allora è una cuspide
»  se ,
allora è un flesso a tangente verticale.

Imponi e risolvi.
I valori che soddisfano l'equazione sono molto probabilmente le ascisse dei punti di flesso.

Studia il segno della derivata seconda: > 0.
Negli intervalli in cui risulta positiva (> 0), la curva rivolge la concavità verso l'alto (convessa), in caso contrario (< 0) volge la concavità verso il basso (concava).
Le soluzioni di sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso, e la tangente si dispone orizzontalmente.

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell'equazione della curva e ricava l'ordinata corrispondente.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Se , allora si calcolano i due limiti :
che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e
che fornisce il valore del termine noto q della retta.
Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta è un asintoto della curva.