maecla.it, giugno 2004, Bibliografia matematica a cura di Ivana Niccolai, segnalazioni

In questo libretto, di appena 60 pagine, viene raccontato dall'autore stesso l'iter che lo ha condotto dalla capacità di rappresentare le forme allo sviluppo dei frattali e alla loro applicazione sia in matematica sia in altri ambiti, riuscendo a imporsi come "frattalista".
A pagina 19, B. Mandelbrot scrive: "[...] Nel 1937 entrai in contatto con il professore di Geometria (differenziale), il giovane Gaston Julia, che aveva pubblicato un capolavoro di duecento pagine, "Mémoire sur l'itération des fonctions rationelles" (Memorie sull'iterazione delle funzioni razionali). Per questo libro ricevette il Gran Premio dell'Accademia delle Scienze. Poi purtroppo cadde per trent'anni nella dimenticanza e nel disprezzo. In seguito mio zio, vedendomi indeciso e confuso sul da farsi, cercò di riportarmi gradualmente alla matematica pura, suggerendomi di riprendere gli studi da dove Julia si era fermato. Ho provato e, come molti altri ricercatori prima di me, non sono riuscito neanche a fare un piccolo passo in più. Nessuno poteva mai immaginare che trent'anni dopo avrei condotto un piccolo gruppo che, riportando in vita la sua teoria dell'iterazione delle funzioni, l'avrebbe condotta a piena e meritata gloria.[...]"
Nelle pagine 28 e 29 si legge: "[...] Ho concepito, sviluppato e applicato in tanti ambiti una nuova geometria della natura, una geometria che trova ordine nelle forme e nei processi caotici. La sviluppai senza un nome fino al 1975, quando coniai una nuova parola per configurarla. Ora è riportata in molti dizionari come geometria «frattale», dall'aggettivo latino, «fractus», che significa «irregolare e spezzato». Nonostante le ultime resistenze in certe aree, i frattali sono stati accettati e hanno trovato applicazione in molti differenti campi.[...]
La realtà che sta dietro il concetto di frattale è meglio esemplificata se facciamo riferimento a prodotti già coltivati dagli antichi Romani, come il cavolfiore e i broccoli. Una testa di cavolfiore è facilmente divisa in piccoli fiori; ogni fiore è come un piccolo cavolfiore, che può essere ancora diviso in altri fiori ancora più piccoli. Usando una lente d'ingrandimento, questo processo può essere osservato in vari stadi. Una formula di matematica che imitasse questa struttura potrebbe continuare all'infinito. L'idea, perciò, è quella di autosimilitudine: ogni parte, cioè ogni piccolo fiore, è come l'intero o qualsiasi altro fiore, eccetto per una dilatazione o riduzione.[...]"
Insomma, i broccoli e i cavolfiori rappresentano il miglior esempio di auto-similitudine esistente in natura e possono essere considerati dei "frattali ante-litteram".

Ricerca & futuro, n. 23, marzo 2002, pag. 79 - Nel mondo dei frattali, di Vincenzo Malvestito

Mandelbrot deve essere stato felicissimo di scrivere questo libro. Genio egocentrico come pochi, ha un’irresistibile inclinazione a parlare di se stesso anche quando le circostanze lo sconsigliano.
Suppongo, quindi, che con vero entusiasmo Mandelbrot abbia colto l’occasione fornitagli dalla stesura di questo libro, che vuol essere metà autobiografia e metà divulgazione scientifica. Nei suoi ricordo, accanto all’atmosfera bourbakista della matematica della prima metà del Novecento, rivivono figure di matematici più o meno note. Interessanti sono pure le sue osservazioni critiche rivolte alla matematica accademica e al “culto della gioventù”, critiche ispirate dalla sua storia personale di ribelle e outsider rispetto ai santuari e ai circoli ortodossi della matematica internazionale. Inventore della geometria frattale, non perde un’occasione per ricordarlo e, se la cosa fosse stata possibile, ne avrebbe ricavato un brevetto. Sta di fatto che, in un certo senso, la rivoluzione frattale sta alla rivoluzione non-euclidea rispetto alla geometria tradizionale, come la meccanica quantistica sta alla teoria della relatività nei confronti della meccanica classica. E Mandelbrot ne è stato il pioniere e l’appassionato alfiere.
Questo suo libro di ricordi ripercorre l’iter scientifico di lui infaticabile esploratore, toccando argomenti come la distribuzione delle galassie, l’andamento dei prezzi delle merci in borsa, la teoria del portafoglio in finanza, il regime del Nilo, ed altro, per culminare con l’insieme più complesso del mondo denominato l’insieme di Mandelbrot. L’autore riesce a parlare al pubblico di tutto ciò con linguaggio piano all’insegna della leggerezza, senza usare una sola formula. Insomma, un’introduzione piacevole e comprensibile al dominio di una delle branche più sofisticate della matematica moderna.

Galileo, giovedì 17 aprile 2003, scaffale - Un talento geometrico, di Michele Catanzaro

“ Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le costiere non sono cerchi e la corteccia non è liscia, né la luce viaggia su una linea retta”. In altre parole, la natura è molto più spigolosa e impervia del mondo della matematica tradizionale, con le sue forme geometriche ideali. Ad affermarlo è Benoit Mandelbrot, un rivoluzionario della geometria che ha posto gli oggetti frattali -figure enigmatiche e affascinanti che sembrano riprodurre la scabrosità della natura - al centro dell'attenzione della comunità scientifica. In questo volumetto si troverà sia un’agile autobiografia di un personaggio eccentrico e orgoglioso che una elementare ma completa introduzione al mondo dei frattali.
Questa parola deriva dal latino "fractus", spezzato. La "ruvidità", infatti, è una caratteristica comune a tutti gli enti geometrici di questo tipo. Un esempio col quale Mandelbrot ama introdurre il concetto è il broccolo. Ebbene sì, proprio l'ortaggio dai fiori conoidali, costituiti da piccoli conoidi disposti a spirale, a loro volta ricoperti da altri conoidi più piccoli, e così via, finché l’occhio riesce a discriminare le forme. Effettivamente la proprietà fondamentale dei frattali l’auto-similarità. Ovvero il fatto che a ingrandimenti successivi, questi oggetti presentano sempre una struttura dello stesso tipo. In altre parole, non hanno una “scala caratteristica”, alla quale rivelano il loro vero aspetto. A pensarci bene, questo è proprio quello che caratterizza quello che descriviamo come irregolare. Consideriamo, per esempio, un albero: è fatto da un tronco dal quale si dipartono dei rami. Ma se ci concentriamo su un ramo anche da questo escono ramificazioni più piccole, e così via per gli ingrandimenti successivi. Lo stesso discorso vale per le linee delle coste, o per la distribuzione della materia nell'universo. Ma sono privi di scala caratteristica anche fenomeni che si evolvono nel tempo. Per esempio le piene del fiume Nilo, o il prezzo delle azioni, che possono oscillare entrambi da piccole fluttuazioni a vere e proprie catastrofi.
Si direbbe che si tratta di fenomeni caotici o troppo complessi da capire. Eppure Mandelbrot è riuscito a introdurre una misura nuova, la “dimensione frattale”, che quantifica proprio il grado d'irregolarità di questi oggetti. E in più ha prodotto dei modelli matematici in grado di generare forme geometriche dall'insolita bellezza che riproducono al computer l'aspetto di una montagna, di una costa o di una nuvola. O 'falsificazioni frattali' degli andamenti delle piene del Nilo e dei prezzi delle azioni che esperti di idrologia ed economia non sono riusciti a distinguere dagli andamenti veri. Certo, non si tratta di modelli in grado di fare previsioni, ma la straordinaria somiglianza con i processi reali lascia supporre che riescano a catturare i meccanismi fondamentali sottostanti a fenomeni del genere. Si afferma, così, una relazione del tutto nuova fra geometria e natura, e un ruolo nuovo per le immagini e le simulazioni all'interno della ricerca scientifica. Sebbene Mandelbrot affermi con orgoglio la paternità di questa rivoluzione, va detto che i suoi sono risultati in gran parte anticipati dall'Analisi Matematica tradizionale. Prima di lui, però, i frattali erano considerati delle "patologie", delle forme mostruose, utilizzate come casi-limite per passare al vaglio i teoremi. A Mandelbrot spetta il merito di avere mostrato che in natura sono la norma. Un successo dovuto al suo straordinario talento per la visualizzazione geometrica, esaltato da un'educazione non convenzionale avvenuta fuori dalla scuola. Ma anche alla fiducia nell'interdisciplinarietà. Ovvero l'idea che “una 'spruzzatina' di diversità sia proprio indispensabile, sia alla scienza che alla società”.