Math.it - Goniometria. La funzione cotangente

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GONIOMETRIA: la funzione cotangente

unità 1.1 | unità 1.2 | unità 1.3

sin α | cos α | tg α | cotg α | tutte

Prova a variare l'ampiezza dell'angolo α muovendo il punto P lungo la circonferenza goniometrica (OP=1).
In questo modo puoi studiare come varia il rapporto tra il cateto OQ e il cateto PQ. Chiamiamo questo rapporto ctg α = OQ/PQ.

Nota che questo rapporto è il reciproco della tangente, ovvero ctg α = 1/tg α.
I valori entro i quali tale misura può variare sono compresi tra -infinito e +infinito, allorchè l'angolo passa da 0° a 180°. Per angoli di ampiezza maggiore, puoi notare che vengono ripresi gli stessi valori. Diciamo allora che il periodo della funzione ctg α è di 180° o anche di π radianti.

La variazione della misura del rapporto in funzione della variazione dell'ampiezza dell'angolo si visualizza bene attraverso la rappresentazione grafica della funzione.

Grafico della funzione y = ctg x

Studia come varia il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto P al variare dell'angolo α.

Come per la tangente goniometrica anche per la cotangente è più comodo determinare se esiste un solo segmento la cui variazione sia equivalente al rapporto che definisce la tangente dell'angolo.
Il segmento che cerchiamo è rappresentato in figura dal segmento BR, infatti per il teorema di Talete (o se preferisci per il 3° criterio di similitudine sui triangoli rettangoli: i 3 angoli dei due triangoli sono tra loro uguali), i due triangoli OBR e OQP sono simili; quindi i segmenti corrispondenti sono due a due in proporzione. Possiamo perciò scrivere che i rapporti OQ/PQ = BR/OB. Ma essendoci posti in una circonferenza goniometrica dove OP = OB = 1 ecco dimostrato che il rapporto OQ/PQ = BR.

Nota: nel I quadrante la misura del segmento BR è positiva e decresce da +infinito, quando l'angolo misura 0° (il rapporto OQ/PQ perde significato essendo nullo il suo denominatore), a 0 allorchè l'angolo ha ampiezza di 90° e BR diventa nullo; nel II quadrante BR continua a decrescere passando dal valore 0 e diventando negativo al valore di -infinito, quando l'angolo misura 180°. Poi vengono ripresi gli stessi valori.

Ricorda da questa esperienza che la cotangente di un angolo non è un segmento, ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale.