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GONIOMETRIA: la funzione tangente
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Studia come varia il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto `P` al variare dell'angolo `alpha` .

Prova a variare l'ampiezza dell'angolo `alpha` muovendo il punto `P` lungo la circonferenza goniometrica (`OP=1`). In questo modo puoi studiare come varia il rapporto tra il cateto `PQ` e il cateto `OQ`.  Chiamiamo questo rapporto `tg alpha = (PQ)/(OQ)`, con `alpha !=(pi)/2`.

I valori entro i quali tale misura può variare sono compresi tra `-oo` e `+oo`, allorché l'angolo passa da 0° a 180°. Per angoli di ampiezza maggiore, puoi notare che vengono ripresi gli stessi valori. Diciamo allora che il periodo della funzione `tg alpha` è di 180° o anche di `pi` radianti. La funzione `tg alpha` assume valori finiti solo se l'ampiezza dell'angolo è diverso da un multiplo dispari di `(pi)/2` ovvero `alpha != (2k+1)(pi)/2, k in ZZ`.

La variazione della misura del rapporto in funzione della variazione dell'ampiezza dell'angolo si visualizza bene attraverso la rappresentazione grafica della funzione.


Grafico della funzione `y = tg x`

Studiare la variazione geometrica di un rapporto non è intuitivo. È più comodo determinare se esiste un solo segmento la cui variazione sia equivalente al rapporto che definisce la tangente dell'angolo.
Il segmento che cerchiamo è rappresentato in figura dal segmento `AT`, infatti per il teorema di Talete (o se preferisci per il 3° criterio di similitudine sui triangoli rettangoli: i 3 angoli dei due triangoli sono tra loro uguali), i due triangoli `OAT` e `OQP` sono simili; quindi i segmenti corrispondenti sono due a due in proporzione. Possiamo perciò scrivere che i rapporti `(PQ)/(OQ) = (AT)/(OA)`. Ma essendoci posti in una circonferenza goniometrica dove `OP = OA = 1` ecco dimostrato che il rapporto `(PQ)/(OQ) = AT`.

Nota: nel I quadrante la misura del segmento `AT` è positiva e cresce da `0` a `+oo`; quando l'angolo misura 90° `AT` diventa infinito, il rapporto `(PQ)/(OQ)` perde significato essendo nullo il suo denominatore; nel II quadrante `AT` cresce passando da un valore molto grande ma negativo (`-oo`) a `0`, quando l'angolo misura 180°. Poi vengono ripresi gli stessi valori.

Ricorda da questa esperienza che la tangente di un angolo non è un segmento, ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale.

Considerata la definizione possiamo allora scrivere la relazione `tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha)`, con `alpha !=(pi)/2`, che costituisce la seconda relazione fondamentale della goniometria.


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