Studia come varia il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto P al variare dell'angolo α .

Studiare la variazione geometrica di un rapporto non è intuitivo. È più comodo determinare se esiste un solo segmento la cui variazione sia equivalente al rapporto che definisce la tangente dell'angolo.
Il segmento che cerchiamo è rappresentato in figura dal segmento TA, infatti per il teorema di Talete (o se preferisci per il 3° criterio di similitudine sui triangoli rettangoli: i 3 angoli dei due triangoli sono tra loro uguali), i due triangoli OAT e OQP sono simili; quindi i segmenti corrispondenti sono due a due in proporzione. Possiamo perciò scrivere che i rapporti PQ/OQ = TA/OA. Ma essendoci posti in una circonferenza goniometrica dove OP = OA = 1 ecco dimostrato che il rapporto PQ/OQ = TA.

Nota: nel I quadrante la misura del segmento TA è positiva e cresce da 0 a +infinito; quando l'angolo misura 90° TA diventa infinito, il rapporto QP/OQ perde significato essendo nullo il suo denominatore; nel II quadrante TA cresce passando da un valore (-infinito) molto grande ma negativo a 0, quando l'angolo misura 180°. Poi vengono ripresi gli stessi valori.

Ricorda da questa esperienza che la tangente di un angolo non è un segmento, ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale.

Grafico della funzione y = tg x