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FORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti
 
Definizione

`int f(x) dx = F(x) + c <=> F'(x) = f(x)`

Proprietà dell’integrale indefinito

`int k * f(x) dx = k * int f(x) dx`

`int [f_1(x) + f_2(x) + ... + f_n(x)]dx = int f_1(x)dx + int f_2(x)dx + ... + int f_n(x)dx`

Integrali indefiniti fondamentali Integrali notevoli

`int f '(x)dx = f(x) + c`

`int a dx = ax + c`

`int x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + c` , con `n!=-1`

`int 1/x dx = log absx + c`

`int senx dx = -cos x + c`

`int cos x dx = sen x + c`

`int (1+tg^2 x) dx = int 1/(cos^2 x) dx = tg x + c`

`int (1+ctg^2 x) dx = int 1/(sen^2 x) dx = -ctg x + c`

`int senh x dx = cosh x + c`

`int cosh x dx = senh x + c`

`int e^x dx = e^x + c`

`int e^(kx) dx = e^(kx)/k + c`

`int a^x dx = a^x/(log_e a) + c`

` int 1/(sen x) dx = log abs(tg x/2) + c`

` int 1/(cos x) dx = log abs(tg x/2 + pi/4) + c`

` int 1/(sqrt(1-x^2)) dx = { (arcsen x + c),(-arccos x + c) :}`

` int (-1)/(sqrt(1-x^2)) dx = { (arccos x + c),(-arcsen x + c) :}`

` int 1/(1+x^2) dx = arctg x + c`

` int 1/(1-x^2) dx = 1/2 log abs((1+x)/(1-x)) + c`

` int 1/(sqrt(x^2-1)) dx = log abs(x+sqrt(x^2-1)) + c`

` int 1/(sqrt(1+x^2)) dx = { (arcsenh x + c),(log(x+sqrt(1+x^2)) + c) :}`

` int 1/(sqrt(x^2+-a^2)) dx = log abs(x+sqrt(x^2+-a^2)) + c`

` int sqrt((x^2+-a^2)) dx = x/2 sqrt(x^2+-a^2) +- (a^2)/2 log (x+sqrt(x^2+-a^2)) + c`

` int sqrt((a^2-x^2)) dx = 1/2 (a^2 arcsen x/a + x sqrt(a^2 - x^2) ) + c`

`int sen^2 x dx = 1/2(x - sen x cos x) + c`

`int cos^2 x dx = 1/2(x + sen x cos x) + c`

` int 1/(cosh^2 x) dx = int (1-tgh^2 x) dx + c = tgh x + c`

Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati:

`int f^n(x) * f ' (x) dx = (f^(n+1) (x))/(n+1) + c`

`int (f '(x))/( f(x)) dx = log abs(f(x)) + c`

`int f '(x) * cos f(x) dx = sen f(x) + c`

`int f '(x) * sen f(x) dx = -cos f(x) + c`

 

`int e^f(x) * f ' (x) dx = e^f(x) + c`

`int a^f(x) * f ' (x) dx = (a^f(x)) / (log_e a)+ c`

` int (f '(x))/(sqrt(1-f^2(x))) dx = { (arcsen f(x) + c),(-arccos f(x) + c) :}`

`int (f ' (x))/(1+ f^2 (x)) dx = arctg f(x) + c`

Tecniche di integrazione:

Integrazione per sostituzione

Per il calcolo di integrali del tipo `int f(x) dx`, talvolta può essere vantaggioso sostituire alla variabile d’integrazione x una funzione di un’altra variabile t, purché tale funzione sia derivabile e invertibile.

Ponendo `x=g(t)`, da cui deriva `dx=g '(t) dt`, si ha che:

`int f(x) dx = int f[g(t)] * g ' (t) dt`

Integrazione per parti

`int f '(x)* g(x) dx = f(x) * g(x) - int f(x) * g '(x) dx`

Si integrano per parti funzioni del tipo
`P(x) * e^x`, `P(x) * sen x`, `P(x) * cos x`, `e^(alpha x) * sen beta x`, `e^(alpha x) * cos beta x`, dove `P(x)` è un polinomio.


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