Formulario: Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

Definizione

Il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è l'opposto del numero se il numero è negativo.

In generale si definisce:

`abs(x) = {(x , if x>=0),(-x , if x<0):}`.

Proprietà del valore assoluto

  1. `abs(x) = abs(-x)   AAx in RR`
  2. `abs(x * y) = abs(x) * abs(y)    AA x,y in RR`
  3. `abs(x / y) = abs(x) / (abs(y))    AA x,y in RR ^^ y!=0`
  4. `abs(x) = abs(y) <=> x = +-y    AA x,y in RR`
  5. `abs(x) <= abs(y) <=> x^2 = y^2    AA x,y in RR`
  6. `sqrt(x^2) = abs(x)    AA x in RR`

Equazioni con il valore assoluto

Sono quelle equazioni in cui compaiono valori assoluti di espressioni che contengono l'incognita: `abs(A(x)) = a`,   con `a in RR`.

In generale si risolvono:

  • se `a>=0`, si risolve `A(x) >=+-a`

  • se `a<0`, l'equazione non ha soluzione.

Per esempio:

`abs(7-x) = 5 -> 7-x = +-5 -> x = 2 vv x = 12`.

Disequazioni con il valore assoluto

Sono quelle disequazioni in cui compaiono valori assoluti di espressioni che contengono l'incognita:

`abs(A(x)) > B(x)`.

Questa disequazione ha come soluzioni i valori appartenenti all'unione delle soluzioni dei due sistemi:

`{(A(x)>B(x)),(A(x)>=0):} uu {(-A(x)>B(x)),(A(x)<0):}`

Per esempio:

`abs(x-2) > 1-2x`

  1. `{(x-2 > 1-2x),(x-2 >= 0):}` , `{(x > 1),(x >= 2):}` , le cui soluzioni sono: `x >= 2`,

  2. `{(-x+2 > 1-2x),(x-2 < 0):}` , `{(x > -1),(x < 2):}` , le cui soluzioni sono: `-1 < x < 2`,

Dall'unione delle soluzioni dei due sistemi si ottiene: `x > -1`.

Particolari disequazioni con il valore assoluto

Sono del tipo:

  1. `abs(A(x)) < k`, con `k in RR^+`
    La disequazione è equivalente a: `-k <A(x) < k`, ossia `A(x) > -k ^^ A(x) < k`, ovvero al sistema: `{(A(x) > -k),(A(x) < k):}`

  2. `abs(A(x)) > k`, con `k in RR^+`
    La disequazione è equivalente a: `A(x) < -k vv A(x) > k`, per cui la soluzione è l'unione delle soluzioni delle due disequazioni.