Formulario: ellisse

Definizione

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, la ellisse è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano, non parallelo alla generatrice, e incidente l'asse del cono.

Ellisse con asse verticale

I fuochi sono sull'asse delle `x`

:: equazione cartesiana: `x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1` con   `a > b`

:: fuochi: `F_1 (-c;0)` , `F_2 (c;0)` con `a > c`  e   `c= sqrt(a^2-b^2)`

:: vertici: `A_1(a;0)`, `A_2(-a;0)`, `B_1(0;-b)`, `B_2(0;b)`

:: lunghezza asse maggiore: `A_1A_2`= `2a`

:: lunghezza asse minore: `B_1B_2`= `2b`

:: eccentricità (rapporto tra distanza focale e asse maggiore): `e = c/a = sqrt(a^2-b^2)/a` ,   `0 <= e < 1`

Ellisse con asse orizzontale

I fuochi sono sull'asse delle `y`

:: equazione cartesiana : `x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1` con   `b > a`

:: fuochi: `F_1 (0;-c)` , `F_2 (0;c)` con `b > c `  e   `c= sqrt(b^2-a^2)`

:: vertici: `A_1(-a;0)`, `A_2(a;0)`, `B_1(0;-b)`, `B_2(0;b)`

:: lunghezza asse maggiore: `B_1B_2`= `2b`

:: lunghezza asse minore: `A_1A_2`= `2a`

:: eccentricità (rapporto tra distanza focale e asse maggiore): `e = c/b = sqrt(b^2-a^2)/b` ,   `0 <= e < 1`

Ellisse e rette tangenti

:: Formula dello sdoppiamento. Equazione della retta tangente all’ellisse nel suo punto `P_0 (x_0;y_0)` : `(x x_0)/a^2 + (y y_0)/b^2 = 1`

:: Coefficienti angolari `m` delle rette tangenti all’ellisse condotte dal punto esterno `P_0 (x_0;y_0)`, sono le soluzioni dell’equazione: `m^2 (a^2-x_0 ^2)+2mx y_0 + b^2 - y_0 ^2`


Vedi anche