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FORMULARIO: determinante di una
matrice quadrata. Regola di Sarrus
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Un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe e n il numero delle colonne. Una matrice si dice quadrata se Il generico elemento della matrice
La teoria dei DETERMINANTI è stata sviluppata per poter risolvere i sistemi di equazioni lineari e trovare l'inversa di una matrice quadrata. Per questo fine è stato necessario associare ad ogni matrice quadrata un valore numerico. Tale numero è il determinante della matrice. Ad ogni matrice quadrata A di ordine n può essere associato un numero che si chiama il suo determinante e si indica con det A. |
| » Determinante
di matrici quadrate del secondo ordine
Il determinante di
una matrice quadrata del secondo ordine (2
righe e 2 colonne) |
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» Determinante di matrici quadrate del terzo ordine Il calcolo del determinante di
una matrice quadrata del terzo ordine (3
righe e 3 colonne) Ogni elemento della prima riga viene moltiplicato con il suo MINORE COMPLEMENTARE, ovvero il determinante del secondo ordine ottenuto sopprimendo la prima riga e la prima colonna; i prodotti vengono poi sommati algebricamente tra loro considerando il segno positivo se la somma degli indici dell'elemento considerato è pari, o negativo se è dispari. Sviluppando i tre determinanti del secondo ordine, si ottiene:
È utile notare che il determinante di una matrice quadrata non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto ad una qualsiasi altra riga (non solo la prima) o un'altra colonna. |
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Un secondo metodo per il calcolo dei determinanti del
terzo ordine è indicato dalla REGOLA
DI SARRUS.
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| » Principali
proprietà
i) il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le colonne: ii) lo scambio di due righe o di due colonne di un determinante equivale a cambiarne il segno, ovvero a moltiplicarlo per -1 : iii) moltiplicare tutti gli elementi di una riga o di una colonna per uno stesso numero k equivale a moltiplicare il determinante per k : iv) se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il valore del determinante è nullo: |
. 
si indica con 
. Esso occupa la posizione individuata
dall'intersezione tra la i-esima riga e la j-esima colonna
della matrice.
,
con 
si
calcola:
si
sviluppa secondo gli elementi di una riga o di una colonna. Nell'esempio
sviluppiamo secondo la prima riga.
.
.
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