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FORMULARIO: determinante di una matrice quadrata. Regola di Sarrus
 


» Definizione di matrice

Un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine `m xx n`, ove `m` è il numero delle righe e `n` il numero delle colonne.

Una matrice si dice quadrata se `m = n`.

Il generico elemento della matrice `A_(m,n)` si indica con `a_(i,j)`. Esso occupa la posizione individuata dall'intersezione tra la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice.

`A_(m,n) = ([a_(1,1),a_(1,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(1,n)],[a_(2,1),a_(2,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(2,n)],[a_(3,1),a_(3,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(3,n)],[a_(i,1),a_(i,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(i,n)],[...,...,..., ..., ..., ..., ...],[a_(m,1),a_(m,2),..., ..., a_(m,j), ..., a_(m,n)])` con `{(i=1,2,3,..., m),(j=1,2,3,..., n):}`.

La teoria dei DETERMINANTI è stata sviluppata per poter risolvere i sistemi di equazioni lineari e trovare l'inversa di una matrice quadrata. Per questo fine è stato necessario associare ad ogni matrice quadrata un valore numerico. Tale numero è il determinante della matrice.

Ad ogni matrice quadrata `A` di ordine `n` può essere associato un numero che si chiama il suo determinante e si indica con `det A`.

» Determinante di matrici quadrate del secondo ordine

Il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine (2 righe e 2 colonne) `A = ([a_(1,1),a_(1,2)],[a_(2,1),a_(2,2)])` si calcola:
`det A = |[a_(1,1),a_(1,2)],[a_(2,1),a_(2,2)]| = a_(1,1)*a_(2,2)-a_(2,1)*a_(1,2)`.
Il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine è uguale alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali (principale meno secondaria).

» Determinante di matrici quadrate del terzo ordine

Il calcolo del determinante di una matrice quadrata del terzo ordine (3 righe e 3 colonne) `A = ([a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)])` si sviluppa secondo gli elementi di una riga o di una colonna. Nell'esempio sviluppiamo secondo la prima riga:

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = a_(1,1) * |[a_(2,2),a_(2,3)],[a_(3,2),a_(3,3)]| - a_(1,2) * |[a_(2,1),a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,3)]| + a_(1,3) * |[a_(2,1),a_(2,2)],[a_(3,1),a_(3,2)]|`.

Ogni elemento della prima riga viene moltiplicato con il suo MINORE COMPLEMENTARE, ovvero il determinante del secondo ordine ottenuto sopprimendo la prima riga e la prima colonna; i prodotti vengono poi sommati algebricamente tra loro considerando il segno positivo se la somma degli indici dell'elemento considerato è pari, o negativo se è dispari.

Sviluppando i tre determinanti del secondo ordine, si ottiene:

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = a_(1,1)*a_(2,2)*a_(3,3) + a_(1,2)*a_(2,3)*a_(3,1) + a_(1,3)*a_(2,1)*a_(3,2) - a_(1,3)*a_(2,2)*a_(3,1) - a_(1,2)*a_(2,1)*a_(3,3) - a_(1,1)*a_(2,3)*a_(3,2)`.

È utile notare che il determinante di una matrice quadrata non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto ad una qualsiasi altra riga (non solo la prima) o un'altra colonna.

Un secondo metodo per il calcolo dei determinanti del terzo ordine è indicato dalla REGOLA DI SARRUS.
Per la sua applicazione è conveniente disporre, accanto alla matrice data, copia delle prime due colonne ed eseguire i prodotti indicati, presi in segno positivo seguendo la direzione diagonale verso il basso e negativi seguendo la direzione diagonale verso l'alto.

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| {:[a_(1,1),a_(1,2)],[a_(2,1),a_(2,2)],[a_(3,1),a_(3,2)]:} = a_(1,1)*a_(2,2)*a_(3,3) + a_(1,2)*a_(2,3)*a_(3,1) + a_(1,3)*a_(2,1)*a_(3,2) - a_(3,1)*a_(2,2)*a_(1,3) - a_(3,2)*a_(2,3)*a_(1,1) - a_(3,3)*a_(2,1)*a_(1,2)` .

» Principali proprietà

i) il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le colonne:

`|[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = |[a_(1,1),a_(2,1),a_(3,1)],[a_(1,2),a_(2,2), a_(3,2)],[a_(1,3),a_(2,3),a_(3,3)]|`;

ii) lo scambio di due righe o di due colonne di un determinante equivale a cambiarne il segno, ovvero a moltiplicarlo per `-1` :

`|[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = - |[a_(1,2),a_(1,1), a_(1,3)],[a_(2,2),a_(2,1),a_(2,3)],[a_(3,2),a_(3,1),a_(3,3)]|`;

iii) moltiplicare tutti gli elementi di una riga o di una colonna per uno stesso numero `k` equivale a moltiplicare il determinante per `k` :

`|[k*a_(1,1),k*a_(1,2),k*a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = k * |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]|`;

iv) se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il valore del determinante è nullo:

`|[a_(1,1),0,a_(1,3)],[a_(2,1),0, a_(2,3)],[a_(3,1),0,a_(3,3)]| = 0`.

 

 


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