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COSTRUZIONI GEOMETRICHE : sezione aurea di un segmento
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Definizione: si dice sezione aurea del segmento AB, il segmento AC, con C compreso tra A e B, medio proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte rimanente CB. | |||
Per costruire la sezione aurea di un segmento AB assegnato si procede nel modo seguente: - si costruisce la circonferenza di centro B e raggio uguale alla metà del segmento AB, |
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| La definizione si traduce nella proporzione AB:AC=AC:BC Se AB misura l, la sua sezione aurea ha come misura la soluzione dell'equazione:  cioè il numero  , (0,618 cioè circa il 61.8% di l ).Indicando con l la lunghezza del segmento AB e x la parte AC, il problema si può tradurre nella proporzione l : x = x : ( l - x), e poiché nelle proporzioni il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi si ottiene: x² = l ( l - x). Ora ponendo l = 1 , si ottiene l'equazione di 2° grado x² + x – 1 = 0. La lunghezza della parte maggiore nella divisione del segmento di lunghezza l = 1 è data dalla soluzione positiva, cioè x=+0,618. Il numero ottenuto è stato chiamato sin dall'antichità rapporto aureo o proporzione aurea e anche divina proporzione. Tale numero è anche legato ai Numeri di Fibonacci e alla spirale logaritmica. |
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Sia AC il segmento dato. Si costruiscono le due perpendicolari al segmento passanti per i suoi estremi. Quindi si costruiscono le due circonferenze di centro rispettivamente A e C. I punti di intersezione con le precedenti rette, insieme ad A e C costituiscono i vertici di un quadrato. Individuiamo il punto medio M del segmento AN, e tracciamo la circonferenza con centro in M e raggio MC. Viene così individuato il punto B intersezione della circonferenza con la retta passante per A e M. Tracciamo infine la retta perpendicolare passante per B che interseca la retta per C nel punto D. Il rettangolo ABCD è il poligono ricercato, in quanto le sue misure, AB e AC, stanno in proporzione aurea. |
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