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Formule di Taylor e di McLaurin

Lo scopo delle formule di Taylor e di McLaurin è di approssimare una funzione con un polinomio di grado ${\displaystyle k}$ arbitrario centrato in ${\displaystyle x_0}$, nel caso della formula di Taylor, e in ${\displaystyle 0}$ nel caso di quella di McLaurin.

Formula di Taylor

Una funzione ${\displaystyle f\left(x\right)}$, che passi per un punto ${\displaystyle x_0}$ e che abbia in quel punto tutte le derivate necessarie, si può approssimare nel punto ${\displaystyle x_0}$ mediante un polinomio (di Taylor) così definito:

${\displaystyle P_k\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\frac{1}{1!}{f}^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(x_0\right){(x-x_0)}^2+\frac{1}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(x_0\right){(x-x_0)}^3+...}$
${\displaystyle ...+\frac{1}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(x_0\right){(x-x_0)}^k}$.

L'errore che si commette in questa approssimazione non è maggiore della prima derivata che si trascura.

Formula di McLaurin

Nel caso in cui il punto ${\displaystyle x_0}$ sia l’origine (${\displaystyle x_0=0}$) si ottiene la formula di McLaurin:

${\displaystyle f\left(x\right)\approx f\left(0\right)+f^{\prime }\left(0\right)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(0\right)x^2+\frac{1}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(0\right)x^3+...+\frac{1}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(0\right)x^k}$ .

:: vedi anche Sviluppi in serie di McLaurin