Sviluppo in serie di una funzione
Lo scopo degli sviluppi in serie è di approssimare una funzione continua e derivabile in un punto `x_0` del dominio della funzione con un polinomio di grado `n` arbitrario nella indeterminata `(x-x_0)`.
Gli sviluppi in serie possono tornare utili nel calcolo di forme di indecisione del tipo `0/0`, mentre non è possibile utilizzarli per forme di indecisione `oo/oo` , dal momento che non siamo in grado di sviluppare in serie una funzione nell’intorno dell’`oo`.
Sviluppo in serie di McLaurin
Lo sviluppo di McLaurin di ordine `n` di una funzione `f(x)` è dato da:
`f(x) = f(0) + f^'(0)x + 1/(2!) f^('')(0)x^2 + 1/(3!) f^(''')(0)x^3 + ... + 1/(n!) f^((n))(0)x^n + o(x^n)`
Per calcolare lo sviluppo di McLaurin di una funzione assegnata si procede calcolando le derivate successive di `f(x)` e calcolandone i valori in corrispondenza di `x = x_0`.
:: vedi anche Formule di Taylor e di McLaurin
Notazione `o` (o piccolo)
Definizione: Siano `f` e `g` due funzioni reali di variabile reale definite in un intorno di un punto `x_0 in RR`, eccettuato al più il punto `x_0`.
Si dice che `f` è un `o` piccolo di `g` per `x` che tende a `x_0`, in simboli:
`f = o (g)` per `x->x_0,` se `lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = 0`
Si noti che non è necessario richiedere che `f` e `g` siano definite nel punto `x_0` in quanto la definizione coinvolge esclusivamente il limite del rapporto delle due funzioni per `x` che tende a `x_0`.
La notazione `f = o (g)`: la lettera “`o`” sta per “zero” (non viene usato perché darebbe luogo ad ambiguità di notazione) indica che la funzione `f` è uno zero (un infinitesimo di ordine superiore) della funzione `g`.
`k` fattoriale si indica `k!`, con `k in NN`, ed è così definito: `k! = 1·2·3·...·k`. Per convenzione si pone `0! = 1`.
Sviluppi in serie
`(1+x)^alpha = 1 + alpha x + (alpha(alpha-1))/2 x^2 + (alpha(alpha-1)(alpha-2))/6 x^3 +...+ ((alpha),(n))x^n + o(x^n)`,
ricordando che il coefficiente binomiale è così definito:
`((alpha),(n)) = (alpha * (alpha - 1) * ... * (alpha -n+1))/ (n!)`
`1/(1+x) = (1+x)^-1 = 1 - x + x^2 - x^3 + ... +(-1)^n x^n + o(x^n)`
`1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + o(x^n)`
`1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... +(-1)^(2n) x^(2n) + o(x^(2n))`
`sqrt(1+x) = (1+x)^(1/2) = 1 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 1/16 x^3 - 5/128 x^4 + ... + ((1/2),(n)) x^n + o(x^n)`
`root3(1+x) = (1+x)^(1/3) = 1 + 1/3 x - 1/9 x^2 + 5/81 x^3 - 10/243 x^4 + ... + ((1/3),(n)) x^n + o(x^n)`
`1/(sqrt(1+x)) = (1+x)^(-1/2) = 1 - 1/2 x + 3/8 x^2 - 5/16 x^3 + ... + ((-1/2),(n)) x^n + o(x^n)`
`1/(root3(1+x)) = (1+x)^(-1/3) = 1 - 1/3 x + 2/9 x^2 - 14/81 x^3 + ... + ((-1/3),(n)) x^n + o(x^n)`
`e^x = 1 + x + x^2/(2!) + x^3/(3!) + x^4/(4!) + ... + x^n/(n!) + o(x^n)`
`e^(-x) = 1 - x + x^2/(2!) - x^3/(3!) + x^4/(4!) + ... + (-1)^n x^n/(n!) + o(x^n)`
`log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n-1) x^n/n + o(x^n)`
`sin x = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ... + (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)!) + o(x^(2n+2))`
`cos x = 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) - x^6/(6!) + ... + (-1)^n x^(2n)/((2n)!) + o(x^(2n+1))`
`tan x = x + 1/3 x^3 + 2/15 x^5 + o(x^6)`
`arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ... + (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1) + o(x^(2n+2))`
`sinh x = x + x^3/(3!) + x^5/(5!) + x^7/(7!) + ... + x^(2n+1)/((2n+1)!) + o(x^(2n+2))`
`cosh x = 1 + x^2/(2!) + x^4/(4!) + x^6/(6!) + ... + x^(2n)/((2n)!) + o(x^(2n+1))`