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Definizione

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, la ellisse è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano, non parallelo alla generatrice, e incidente l'asse del cono.

Ellisse con asse verticale

I fuochi sono sull'asse delle ${\displaystyle x}$

:: equazione cartesiana: ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ con   ${\displaystyle a>b}$

:: fuochi: ${\displaystyle F_1(-c;0)}$ , ${\displaystyle F_2(c;0)}$ con ${\displaystyle a>c}$  e   ${\displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2}}$

:: vertici: ${\displaystyle A_1(a;0)}$, ${\displaystyle A_2(-a;0)}$, ${\displaystyle B_1(0;-b)}$, ${\displaystyle B_2(0;b)}$

:: lunghezza asse maggiore: ${\displaystyle \overline{A_1{A}_2}}$= ${\displaystyle 2a}$

:: lunghezza asse minore: ${\displaystyle \overline{B_1{B}_2}}$= ${\displaystyle 2b}$

:: eccentricità (rapporto tra distanza focale e asse maggiore): ${\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}}$ ,   ${\displaystyle 0\le e<1}$

Ellisse con asse orizzontale

I fuochi sono sull'asse delle ${\displaystyle y}$

:: equazione cartesiana : ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ con   ${\displaystyle b>a}$

:: fuochi: ${\displaystyle F_1(0;-c)}$ , ${\displaystyle F_2(0;c)}$ con ${\displaystyle b>c}$  e   ${\displaystyle c=\sqrt{b^2-a^2}}$

:: vertici: ${\displaystyle A_1(-a;0)}$, ${\displaystyle A_2(a;0)}$, ${\displaystyle B_1(0;-b)}$, ${\displaystyle B_2(0;b)}$

:: lunghezza asse maggiore: ${\displaystyle \overline{B_1{B}_2}}$= ${\displaystyle 2b}$

:: lunghezza asse minore: ${\displaystyle \overline{A_1{A}_2}}$= ${\displaystyle 2a}$

:: eccentricità (rapporto tra distanza focale e asse maggiore): ${\displaystyle e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}}$ ,   ${\displaystyle 0\le e<1}$

Ellisse e rette tangenti

:: Formula dello sdoppiamento. Equazione della retta tangente all’ellisse nel suo punto ${\displaystyle P_0(x_0;y_0)}$ : ${\displaystyle \frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1}$

:: Coefficienti angolari ${\displaystyle m}$ delle rette tangenti all’ellisse condotte dal punto esterno ${\displaystyle P_0(x_0;y_0)}$, sono le soluzioni dell’equazione: ${\displaystyle m^2(a^2-x_0^2)+2mx{y}_0+b^2-y_0^2}$

Vedi anche

• Geodinamica: La costruzione geometrica della ellisse