Formule per la traslazione degli assi

Le coordinate del generico punto `P` sono:
`P(x;y)` nel sistema di assi cartesiani ortogonali `xOy`, e
`P(x^';y^')` nel sistema di assi paralleli e concordi `x^'O^'y^'`.
Se l'origine del nuovo sistema `x^'O^'y^'` ha, rispetto al primo, le coordinate `O^'(a;b)`, valgono le relazioni:
`{(x^' = x + a),(y^' = y + b):}`.

Formule per la rotazione degli assi

Le coordinate del generico punto `P` sono:
`P(x;y)` nel sistema di assi cartesiani ortogonali `xOy`, e
`P(x^';y^')` riferite al sistema `x^'O^'y^'` in cui gli assi sono ruotati di un angolo `alpha`, e le origini `O` e `O^'` coincidono.

Le relazioni:
`{(x^' = x cos alpha - y sin alpha),(y^' = x sin alpha + y cos alpha):}`
consentono di passare da un sistema di riferimento `xOy` al sistema `x^'O^'y^'` ruotato di un angolo `alpha` rispetto al precedente.

Disponendo per esempio dell'equazione cartesiana di una curva `y=f(x)` con queste formule si può trasformare l'equazione della curva nelle nuove variabili `x^',y^'`.
Un esempio tipico è quello di trasformare l'equazione di un iperbole equilatera nell'equazione della stessa iperbole riferita ai propri asintoti.

Formule per la rototraslazione degli assi

Questo movimento risulta composto dalla traslazione
`{(x^' = x + a),(y^' = y + b):}`,

e dalla rotazione di un angolo `alpha`
`{(x^' = x cos alpha - y sin alpha),(y^' = x sin alpha + y cos alpha):}`.

Si ottengono così le formule per la rototraslazione:
`{(x^' = a + x cos alpha - y sin alpha),(y^' = b + x sin alpha + y cos alpha):}`.

Formule di trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari e viceversa.

La posizione di un punto qualsiasi sul piano è univocamente determinata da:
- la sua distanza dal polo = raggio vettore indicato con `rho`;
- l'angolo `varphi` (anomalia o ascissa angolare) formato dall'asse polare e dal raggio vettore, assumendo l'asse polare come origine, e positivo il senso antiorario.

Per rappresentare tutti i punti del piano si conviene che:
`rho >= 0` , `0 <= varphi <= 2pi`.

Osservazioni:
- Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.
- L'equazione polare dell'asse è `varphi = 0` oppure `varphi = 2pi`
- Tutte le rette passanti per il polo hanno un'equazione del tipo: `varphi = text(costante)`
- Un cerchio con centro nel polo ha un'equazione del tipo: `rho = text(costante)`
- Il polo ha raggio vettore nullo e anomalia indeterminata.

Per passare dal sistema cartesiano `xOy` al sistema polare (applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli) si usano le seguenti relazioni:
`{(x = rho cos varphi),(y = rho sin varphi):}`.

Viceversa, per passare dal sistema polare al cartesiano:

`cos varphi = x/(sqrt(x^2+y^2))` ; `sin varphi = y/(sqrt(x^2+y^2))` ; `tan varphi = y/x`.